(a) Seja uma reta tangente à elipse de equação no ponto . Mostre que a equação da reta é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a equação de uma reta tangente à elipse no ponto é dada por . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre elipses e tangentes, além de usar derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação da elipse: . Essa é a forma padrão de uma elipse centrada na origem, onde e são os semi-eixos maior e menor, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar a equação da reta tangente à elipse em um ponto específico , precisamos determinar a inclinação dessa reta. Para isso, vamos derivar a equação da elipse em relação a para encontrar a derivada , que nos dá a inclinação da tangente.
Passo 4
Vamos derivar a equação da elipse:
Derivando ambos os lados em relação a :
Passo 5
Agora, vamos resolver para :
Dividindo ambos os lados por :
Essa é a inclinação da reta tangente à elipse no ponto .
Passo 6
Sabemos que a equação geral de uma reta é:
Onde é a inclinação da reta. Substituindo pela inclinação que encontramos: