Encontre a área do triângulo determinado pelos pontos A(1,0,1), B(0,0,1) e C(2,2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente quer descobrir a área do triângulo formado pelos pontos , e . Para isso, vamos usar a matemática que lida com vetores no espaço tridimensional e a fórmula da área usando produto vetorial. Vamos precisar entender como encontrar vetores que representam os lados do triângulo e depois calcular o produto vetorial deles para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que formam os lados do triângulo. Vamos calcular os vetores AB = B - A = (0-1, 0-0, 1-1) = (-1, 0, 0) e AC = C - A = (2-1, 2-0, 0-1) = (1, 2, -1) .
Para achar , subtraímos as coordenadas de das de :
Para achar , subtraímos as coordenadas de das de :

Passo 3

Agora que temos os vetores AB times AC = | ccc i & j & k -1 & 0 & 0 1 & 2 & -1 | e AB times AC = i(0 cdot (-1) - 0 cdot 2) - j((-1) cdot (-1) - 0 cdot 1) + k((-1) cdot 2 - 0 cdot 1) , vamos calcular o produto vetorial deles. O produto vetorial de dois vetores no espaço nos dá um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais, e cujo módulo é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores. A área do triângulo será metade disso.
A fórmula do produto vetorial é:
= i(0 - 0) - j(1 - 0) + k(-2 - 0)
Calculando o determinante:
= 0i - 1j - 2k
= (0, -1, -2)

Passo 4

Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial | v | = raizx^2 + y^2 + z^2 , vamos encontrar o módulo desse vetor. O módulo de um vetor | AB times AC | = raiz0^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz0 + 1 + 4 = raiz5 é dado por:
Aplicando isso ao nosso vetor:

Passo 5

Como a área do paralelogramo formado pelos vetores é igual ao módulo do produto vetorial, a área do triângulo será metade disso. Então:
Área = 12 | AB times AC | = 12 raiz5 Á

Resposta

A área do triângulo é unidades de área.

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