Encontre a área do triângulo determinado pelos pontos , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente quer descobrir a área do triângulo formado pelos pontos , e . Para isso, vamos usar a matemática que lida com vetores no espaço tridimensional e a fórmula da área usando produto vetorial. Vamos precisar entender como encontrar vetores que representam os lados do triângulo e depois calcular o produto vetorial deles para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que formam os lados do triângulo. Vamos calcular os vetores e .
Para achar , subtraímos as coordenadas de das de :
Para achar , subtraímos as coordenadas de das de :
Passo 3
Agora que temos os vetores e , vamos calcular o produto vetorial deles. O produto vetorial de dois vetores no espaço nos dá um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais, e cujo módulo é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores. A área do triângulo será metade disso.
A fórmula do produto vetorial é:
Calculando o determinante:
= 0i - 1j - 2k
= (0, -1, -2)
Passo 4
Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial | v | = raizx^2 + y^2 + z^2 , vamos encontrar o módulo desse vetor. O módulo de um vetor | AB times AC | = raiz0^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz0 + 1 + 4 = raiz5 é dado por:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Passo 5
Como a área do paralelogramo formado pelos vetores é igual ao módulo do produto vetorial, a área do triângulo será metade disso. Então: