Encontre a área do triângulo determinado pelos pontos A(1,0,1), B(0,0,1) e C(2,2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente quer descobrir a área do triângulo formado pelos pontos , e . Para isso, vamos usar a matemática que lida com vetores no espaço tridimensional e a fórmula da área usando produto vetorial. Vamos precisar entender como encontrar vetores que representam os lados do triângulo e depois calcular o produto vetorial deles para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que formam os lados do triângulo. Vamos calcular os vetores AB = B - A = (0-1, 0-0, 1-1) = (-1, 0, 0) e AC = C - A = (2-1, 2-0, 0-1) = (1, 2, -1) .
Para achar , subtraímos as coordenadas de das de :
Para achar , subtraímos as coordenadas de das de :

Passo 3

Agora que temos os vetores AB times AC = | ccc i & j & k -1 & 0 & 0 1 & 2 & -1 | e AB times AC = i(0 cdot (-1) - 0 cdot 2) - j((-1) cdot (-1) - 0 cdot 1) + k((-1) cdot 2 - 0 cdot 1) , vamos calcular o produto vetorial deles. O produto vetorial de dois vetores no espaço nos dá um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais, e cujo módulo é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores. A área do triângulo será metade disso.
A fórmula do produto vetorial é:
= i(0 - 0) - j(1 - 0) + k(-2 - 0)
Calculando o determinante:
= 0i - 1j - 2k
= (0, -1, -2)

Passo 4

Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial | v | = raizx^2 + y^2 + z^2 , vamos encontrar o módulo desse vetor. O módulo de um vetor | AB times AC | = raiz0^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz0 + 1 + 4 = raiz5 é dado por:
Aplicando isso ao nosso vetor:

Passo 5

Como a área do paralelogramo formado pelos vetores é igual ao módulo do produto vetorial, a área do triângulo será metade disso. Então:
Área = 12 | AB times AC | = 12 raiz5 Á

Resposta

A área do triângulo é unidades de área.

Exercícios relacionados

(a) Seja r uma reta tangente à elipse de equação x^2a^2+x^2b^2=1 no ponto (x1, y1). Mostre que a equação da reta r é dada por
x1 xa^2+y1 yb^2=1
Considere a seguinte matriz:
A=[cccc -7 / 3 & 1 / 3 & -7 & -10 / 3 -5 & 3 & -9 & -2 -1 & 1 & 1 & 2 7 / 3 & -7 / 3 & 1 & -8 / 3 ]
Decida se a matriz A é diagonalizável;
O dono de uma loja de balas tem muitas balas em estoque, sendo 110 Kg de balas de caramelo e 190 Kg de balas de chocolate. O dono da loja decide vender o estoque na forma de dois pacotes sortidos diferentes. O 1^circ pacote contém uma mistura com 40 % de balas de caramelo e 60 % de balas de chocolate e venderá este pacote a R o quilo. O o quilo O pacote contém uma mistura com pacote contém uma mistura com de balas de caramelo e de balas de caramelo e de balas de chocolate e venderá este pacote a de balas de chocolate e venderá este pacote a o quilo. O vendedor deveria preparar quantos quilogramas de cada mistura com o objetivo de maximizar sua receita?
Determine se os vetores nos itens a seguir formam uma base de R^3 :
(b) (1,1,1),(1,2,3) e(2,-1,1);