Determine uma base para o autoespaço Vlambda associado a cada autovalor lambda de A;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz e precisamos determinar uma base para o autoespaço associado a cada autovalor de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores de e, para cada , encontrar os vetores que satisfazem , onde é a matriz identidade.
Passo 2
Vamos começar encontrando os autovalores de . Para isso, precisamos resolver a equação característica .
Calculamos o determinante dessa matriz e igualamos a zero:
det(A - lambda I) = 0
Isso resulta em uma equação polinomial de quarto grau em lambda1 = 2, lambda2 = -2 . Para simplificar os cálculos, observamos que essa matriz possui termos que facilitam a fatoração. Após alguns passos de simplificação, encontramos os autovalores:
Passo 5
Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar o autoespaço para cada um deles. O autoespaço é formado por todos os vetores próprios associados a , ou seja, todas as soluções não triviais de .