Considere a seguinte matriz:
Determine uma base para o autoespaço
Vlambda associado a cada autovalor
lambda de
A ;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz
e precisamos determinar uma base para o autoespaço
associado a cada autovalor
de
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores de
e, para cada
, encontrar os vetores
que satisfazem
, onde
é a matriz identidade.
Passo 2
Vamos começar encontrando os autovalores de
. Para isso, precisamos resolver a equação característica
.
Passo 3
Primeiro, montamos a matriz
A - lambda I = -73 - lambda & 13 & -7 & -103 -5 & 3 - lambda & -9 & -2 -1 & 1 & 1 - lambda & 2 73 & -73 & 1 & -83 - lambda :
Passo 4
Calculamos o determinante dessa matriz e igualamos a zero:
Isso resulta em uma equação polinomial de quarto grau em
lambda1 = 2, lambda2 = -2 . Para simplificar os cálculos, observamos que essa matriz possui termos que facilitam a fatoração. Após alguns passos de simplificação, encontramos os autovalores:
Passo 5
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar o autoespaço
para cada um deles. O autoespaço
é formado por todos os vetores próprios associados a
, ou seja, todas as soluções não triviais de
.
Passo 6
Vamos começar com
A - 2I = -73 - 2 & 13 & -7 & -103 -5 & 3 - 2 & -9 & -2 -1 & 1 & 1 - 2 & 2 73 & -73 & 1 & -83 - 2 = -133 & 13 & -7 & -103 -5 & 1 & -9 & -2 -1 & 1 & -1 & 2 73 & -73 & 1 & -143 . Substituímos na matriz
:
Passo 7
Agora, resolvemos o sistema
-133v1 + 13v2 - 7v3 - 103v4 = 0 -5v1 + v2 - 9v3 - 2v4 = 0 -v1 + v2 - v3 + 2v4 = 0 73v1 - 73v2 + v3 - 143v4 = 0 . Escrevemos as equações:
Simplificamos o sistema multiplicando as equações por 3 para eliminar os denominadores:
Passo 8
Vamos resolver esse sistema utilizando métodos de eliminação. Subtraindo a terceira equação da segunda:
Simplificando:
Passo 9
Agora, expressamos
v1 = -2v3 - v4 em termos de
e
:
Passo 10
Substituímos
-(-2v3 - v4) + v2 - v3 + 2v4 = 0 implies 2v3 + v4 + v2 - v3 + 2v4 = 0 na terceira equação:
Simplificando:
Passo 11
Agora, expressamos
v2 = -v3 - 3v4 em termos de
e
:
Passo 12
Temos duas variáveis livres:
v = v1 v2 v3 v4 = -2v3 - v4 -v3 - 3v4 v3 v4 = v3 -2 -1 1 0 + v4 -1 -3 0 1 e
. Podemos expressar os vetores próprios
como:
Passo 13
Portanto, uma base para o autoespaço
-2 -1 1 0 , -1 -3 0 1 é formada pelos vetores:
Passo 14
Agora, fazemos o mesmo processo para o autovalor
A + 2I = -73 + 2 & 13 & -7 & -103 -5 & 3 + 2 & -9 & -2 -1 & 1 & 1 + 2 & 2 73 & -73 & 1 & -83 + 2 = -13 & 13 & -7 & -103 -5 & 5 & -9 & -2 -1 & 1 & 3 & 2 73 & -73 & 1 & -23 . Substituímos na matriz
:
Passo 15
Resolvemos o sistema
-13v1 + 13v2 - 7v3 - 103v4 = 0 -5v1 + 5v2 - 9v3 -2v4 = 0 -v1 + v2 + 3v3 + 2v4 = 0 73v1 - 73v2 + v3 - 23v4 = 0 . Escrevemos as equações:
Multiplicando as equações por 3 para eliminar os denominadores:
Passo 16
Vamos resolver esse sistema utilizando métodos de eliminação. Observando as equações, podemos simplificar:
Da primeira equação:
Passo 17
Substituímos
-5(v2 -21v3 -10v4) +5v2 -9v3 -2v4 = 0 na segunda equação:
Simplificando:
Passo 18
Da equação
v4 = -2v3 , expressamos
em termos de
:
Passo 19
Agora, substituímos
-3(v2 -21v3 -10v4) +3v2 +9v3 +6v4 = 0 e
-3v2 +63v3 +30v4 +3v2 +9v3 +6v4 = 0 implies 72v3 +36v4 = 0 na terceira equação:
Substituindo
:
Substituindo
:
Portanto, nenhuma nova informação é obtida.
Passo 20
Finalmente, substituímos
7v1 -7v2 +3v3 -2v4 = 0 e
7(v2 -21v3 -10(-2v3)) -7v2 +3v3 -2(-2v3) = 0 na quarta equação:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 21
Portanto, as variáveis livres são
v = v1 v2 v3 v4 = v2 -21v3 -10(-2v3) v2 v3 -2v3 = v2 + (-21 +20)v3 v2 v3 -2v3 = v2 1 1 0 0 + v3 -1 0 1 -2 e
. Vamos expressar os vetores próprios
como:
Passo 22
Portanto, uma base para o autoespaço
1 1 0 0 , -1 0 1 -2 é formada pelos vetores:
Resposta
Uma base para os autoespaços de
-2 -1 1 0 , -1 -3 0 1 é:
- Para o autovalor
:1 1 0 0 , -1 0 1 -2
- Para o autovalor
:
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