Considere a seguinte matriz:
A=[cccc -7 / 3 & 1 / 3 & -7 & -10 / 3 -5 & 3 & -9 & -2 -1 & 1 & 1 & 2 7 / 3 & -7 / 3 & 1 & -8 / 3 ]
Determine uma base para o autoespaço Vlambda associado a cada autovalor lambda de A;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz e precisamos determinar uma base para o autoespaço associado a cada autovalor de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores de e, para cada , encontrar os vetores que satisfazem , onde é a matriz identidade.

Passo 2

Vamos começar encontrando os autovalores de . Para isso, precisamos resolver a equação característica .

Passo 3

Primeiro, montamos a matriz A - lambda I = -73 - lambda & 13 & -7 & -103 -5 & 3 - lambda & -9 & -2 -1 & 1 & 1 - lambda & 2 73 & -73 & 1 & -83 - lambda :

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz e igualamos a zero:
det(A - lambda I) = 0
Isso resulta em uma equação polinomial de quarto grau em lambda1 = 2, lambda2 = -2 . Para simplificar os cálculos, observamos que essa matriz possui termos que facilitam a fatoração. Após alguns passos de simplificação, encontramos os autovalores:

Passo 5

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar o autoespaço para cada um deles. O autoespaço é formado por todos os vetores próprios associados a , ou seja, todas as soluções não triviais de .

Passo 6

Vamos começar com A - 2I = -73 - 2 & 13 & -7 & -103 -5 & 3 - 2 & -9 & -2 -1 & 1 & 1 - 2 & 2 73 & -73 & 1 & -83 - 2 = -133 & 13 & -7 & -103 -5 & 1 & -9 & -2 -1 & 1 & -1 & 2 73 & -73 & 1 & -143 . Substituímos na matriz :

Passo 7

Agora, resolvemos o sistema -133v1 + 13v2 - 7v3 - 103v4 = 0 -5v1 + v2 - 9v3 - 2v4 = 0 -v1 + v2 - v3 + 2v4 = 0 73v1 - 73v2 + v3 - 143v4 = 0 . Escrevemos as equações:
-13v1 + v2 - 21v3 - 10v4 = 0 -5v1 + v2 - 9v3 - 2v4 = 0 -v1 + v2 - v3 + 2v4 = 0 7v1 - 7v2 + 3v3 - 14v4 = 0
Simplificamos o sistema multiplicando as equações por 3 para eliminar os denominadores:

Passo 8

Vamos resolver esse sistema utilizando métodos de eliminação. Subtraindo a terceira equação da segunda:
(-5v1 + v2 - 9v3 - 2v4) - (-v1 + v2 - v3 + 2v4) = -4v1 -8v3 -4v4 = 0
Simplificando:
-4v1 -8v3 -4v4 = 0 implies v1 + 2v3 + v4 = 0

Passo 9

Agora, expressamos v1 = -2v3 - v4 em termos de e :

Passo 10

Substituímos -(-2v3 - v4) + v2 - v3 + 2v4 = 0 implies 2v3 + v4 + v2 - v3 + 2v4 = 0 na terceira equação:
v2 + v3 + 3v4 = 0 implies v2 = -v3 - 3v4
Simplificando:

Passo 11

Agora, expressamos v2 = -v3 - 3v4 em termos de e :

Passo 12

Temos duas variáveis livres: v = v1 v2 v3 v4 = -2v3 - v4 -v3 - 3v4 v3 v4 = v3 -2 -1 1 0 + v4 -1 -3 0 1 e . Podemos expressar os vetores próprios como:

Passo 13

Portanto, uma base para o autoespaço -2 -1 1 0 , -1 -3 0 1 é formada pelos vetores:

Passo 14

Agora, fazemos o mesmo processo para o autovalor A + 2I = -73 + 2 & 13 & -7 & -103 -5 & 3 + 2 & -9 & -2 -1 & 1 & 1 + 2 & 2 73 & -73 & 1 & -83 + 2 = -13 & 13 & -7 & -103 -5 & 5 & -9 & -2 -1 & 1 & 3 & 2 73 & -73 & 1 & -23 . Substituímos na matriz :

Passo 15

Resolvemos o sistema -13v1 + 13v2 - 7v3 - 103v4 = 0 -5v1 + 5v2 - 9v3 -2v4 = 0 -v1 + v2 + 3v3 + 2v4 = 0 73v1 - 73v2 + v3 - 23v4 = 0 . Escrevemos as equações:
- v1 + v2 - 21v3 -10v4 = 0 -5v1 + 5v2 -9v3 -2v4 = 0 -3v1 +3v2 +9v3 +6v4 = 0 7v1 -7v2 +3v3 -2v4 = 0
Multiplicando as equações por 3 para eliminar os denominadores:

Passo 16

Vamos resolver esse sistema utilizando métodos de eliminação. Observando as equações, podemos simplificar:
Da primeira equação:
- v1 + v2 -21v3 -10v4 = 0 implies v1 = v2 -21v3 -10v4

Passo 17

Substituímos -5(v2 -21v3 -10v4) +5v2 -9v3 -2v4 = 0 na segunda equação:
-5v2 +105v3 +50v4 +5v2 -9v3 -2v4 = 0 implies 96v3 +48v4 = 0 implies 2v3 + v4 = 0
Simplificando:

Passo 18

Da equação v4 = -2v3 , expressamos em termos de :

Passo 19

Agora, substituímos -3(v2 -21v3 -10v4) +3v2 +9v3 +6v4 = 0 e -3v2 +63v3 +30v4 +3v2 +9v3 +6v4 = 0 implies 72v3 +36v4 = 0 na terceira equação:
72v3 +36(-2v3) = 72v3 -72v3 = 0
Substituindo :
Substituindo :
Portanto, nenhuma nova informação é obtida.

Passo 20

Finalmente, substituímos 7v1 -7v2 +3v3 -2v4 = 0 e 7(v2 -21v3 -10(-2v3)) -7v2 +3v3 -2(-2v3) = 0 na quarta equação:
7v2 -147v3 +140v3 -7v2 +3v3 +4v3 = 0 implies (-147 +140 +3 +4)v3 = 0 implies 0 = 0
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 21

Portanto, as variáveis livres são v = v1 v2 v3 v4 = v2 -21v3 -10(-2v3) v2 v3 -2v3 = v2 + (-21 +20)v3 v2 v3 -2v3 = v2 1 1 0 0 + v3 -1 0 1 -2 e . Vamos expressar os vetores próprios como:

Passo 22

Portanto, uma base para o autoespaço 1 1 0 0 , -1 0 1 -2 é formada pelos vetores:

Resposta

Uma base para os autoespaços de -2 -1 1 0 , -1 -3 0 1 é:
  • Para o autovalor 1 1 0 0 , -1 0 1 -2 :
  • Para o autovalor :

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Para os hiperboloides abaixo verifique quantas folhas eles possuem, sua intercessão com o plano x=10 e as interseções com os eixos coordenados.
Duas folhas; Traço x=10:-y^2234=z^250=1
I^prime=(0, pm 3,0)