Para os hiperboloides abaixo verifique quantas folhas eles possuem, sua intercessão com o plano x=10 e as interseções com os eixos coordenados.
a. x^24-y^29+z^216=1
& Uma folha; Traço x=10: y^2216-z^2384=1 & I^prime=(0,0, pm 4) I^prime prime=( pm 2,0,0) & b -x^24+y^29-z^225=1 ç

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui! Temos um hiperboloide representado pela equação:
-x^24 + y^29 - z^225 = 1
Nosso objetivo é:
  1. Verificar quantas folhas esse hiperboloide possui.
  2. Encontrar a interseção desse hiperboloide com o plano .
  3. Determinar as interseções com os eixos coordenados.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre hiperboloides, como identificar o número de folhas, como encontrar interseções com planos e eixos coordenados. Vamos por partes!

Passo 2

Identificando o Número de Folhas do Hiperboloide
Primeiro, vamos identificar quantas folhas o nosso hiperboloide possui. A equação geral de um hiperboloide de duas folhas é:
x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = -1
Já a equação de um hiperboloide de uma folha é:
-x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 1
Comparando com a nossa equação:
-x^24 + y^29 - z^225 = 1
Perceba que o termo com e têm sinais negativos, enquanto o termo com tem sinal positivo, e o lado direito da equação é positivo. Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma folha.

Passo 3

Encontrando a Interseção com o Plano -(10)^24 + y^29 - z^225 = 1
Vamos agora encontrar a interseção do hiperboloide com o plano -1004 + y^29 - z^225 = 1 -25 + y^29 - z^225 = 1 y^29 - z^225 = 26 . Para isso, substituímos por 10 na equação do hiperboloide:
Calculando:
Essa equação representa uma hipérbole no plano .

Passo 4

Determinando as Interseções com os Eixos Coordenados
Vamos encontrar onde o hiperboloide intercepta os eixos -x^24 + 0 - 0 = 1 -x^24 = 1 x^2 = -4 , 0 + y^29 - 0 = 1 y^29 = 1 y^2 = 9 y = pm 3 e 0 + 0 - z^225 = 1 -z^225 = 1 z^2 = -25 .
  1. Interseção com o Eixo : Para encontrar onde o hiperboloide corta o eixo , fixamos e :
Aqui vemos que não há solução real para , o que significa que o hiperboloide não intercepta o eixo .
  1. Interseção com o Eixo : Fixamos e :
Portanto, as interseções com o eixo são nos pontos e .
  1. Interseção com o Eixo : Fixamos e :
Novamente, não há solução real para , então o hiperboloide não intercepta o eixo .

Resposta

O hiperboloide dado pela equação possui uma folha. A interseção com o plano resulta em uma hipérbole representada por . As interseções com os eixos coordenados são apenas com o eixo nos pontos e , não havendo interseções com os eixos e .

Exercícios relacionados

Considere a seguinte matriz:
A=[cccc -7 / 3 & 1 / 3 & -7 & -10 / 3 -5 & 3 & -9 & -2 -1 & 1 & 1 & 2 7 / 3 & -7 / 3 & 1 & -8 / 3 ]
Determine uma base para o autoespaço Vlambda associado a cada autovalor lambda de A;
Determinar o centro dos seguintes elipsoides:
c. x^2+12 y^2+15 z^2-3 z=0
C=(0,0, 110)
Para os hiperboloides abaixo verifique quantas folhas eles possuem, sua intercessão com o plano x=10 e as interseções com os eixos coordenados.
Duas folhas; Traço x=10:-y^2234=z^250=1
I^prime=(0, pm 3,0)
Para os hiperboloides abaixo verifique quantas folhas eles possuem, sua intercessão com o plano x=10 e as interseções com os eixos coordenados.
c. 3 x^2+9 y^2-5 z^2=4
Uma folha; Traço x=10:-y^22969+z^22965=1 ç
I^prime=(0, pm 23, 0) I^prime prime=( pm 2raiz3, 0,0)