Para os hiperboloides abaixo verifique quantas folhas eles possuem, sua intercessão com o plano e as interseções com os eixos coordenados.
a.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui! Temos um hiperboloide representado pela equação:
Nosso objetivo é:
Verificar quantas folhas esse hiperboloide possui.
Encontrar a interseção desse hiperboloide com o plano .
Determinar as interseções com os eixos coordenados.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre hiperboloides, como identificar o número de folhas, como encontrar interseções com planos e eixos coordenados. Vamos por partes!
Passo 2
Identificando o Número de Folhas do Hiperboloide
Primeiro, vamos identificar quantas folhas o nosso hiperboloide possui. A equação geral de um hiperboloide de duas folhas é:
Já a equação de um hiperboloide de uma folha é:
Comparando com a nossa equação:
Perceba que o termo com e têm sinais negativos, enquanto o termo com tem sinal positivo, e o lado direito da equação é positivo. Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma folha.
Passo 3
Encontrando a Interseção com o Plano
Vamos agora encontrar a interseção do hiperboloide com o plano . Para isso, substituímos por 10 na equação do hiperboloide:
Calculando:
Essa equação representa uma hipérbole no plano .
Passo 4
Determinando as Interseções com os Eixos Coordenados
Vamos encontrar onde o hiperboloide intercepta os eixos , e .
Interseção com o Eixo : Para encontrar onde o hiperboloide corta o eixo , fixamos e :
Aqui vemos que não há solução real para , o que significa que o hiperboloide não intercepta o eixo .
Interseção com o Eixo : Fixamos e :
Portanto, as interseções com o eixo são nos pontos e .
Interseção com o Eixo : Fixamos e :
Novamente, não há solução real para , então o hiperboloide não intercepta o eixo .
Resposta
O hiperboloide dado pela equação possui uma folha. A interseção com o plano resulta em uma hipérbole representada por . As interseções com os eixos coordenados são apenas com o eixo nos pontos e , não havendo interseções com os eixos e .