Para os hiperboloides abaixo verifique quantas folhas eles possuem, sua intercessão com o plano
e as interseções com os eixos coordenados.
a.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui! Temos um hiperboloide representado pela equação:
Nosso objetivo é:
- Verificar quantas folhas esse hiperboloide possui.
- Encontrar a interseção desse hiperboloide com o plano
. - Determinar as interseções com os eixos coordenados.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre hiperboloides, como identificar o número de folhas, como encontrar interseções com planos e eixos coordenados. Vamos por partes!
Passo 2
Identificando o Número de Folhas do Hiperboloide
Primeiro, vamos identificar quantas folhas o nosso hiperboloide possui. A equação geral de um hiperboloide de duas folhas é:
Já a equação de um hiperboloide de uma folha é:
Comparando com a nossa equação:
Perceba que o termo com
e
têm sinais negativos, enquanto o termo com
tem sinal positivo, e o lado direito da equação é positivo. Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma folha.
Passo 3
Encontrando a Interseção com o Plano
Vamos agora encontrar a interseção do hiperboloide com o plano
. Para isso, substituímos
por 10 na equação do hiperboloide:
Calculando:
Essa equação representa uma hipérbole no plano
.
Passo 4
Determinando as Interseções com os Eixos Coordenados
Vamos encontrar onde o hiperboloide intercepta os eixos
,
e
.
- Interseção com o Eixo
: Para encontrar onde o hiperboloide corta o eixo , fixamos e :
Aqui vemos que não há solução real para
, o que significa que o hiperboloide não intercepta o eixo
.
- Interseção com o Eixo
: Fixamos e :
Portanto, as interseções com o eixo
são nos pontos
e
.
- Interseção com o Eixo
: Fixamos e :
Novamente, não há solução real para
, então o hiperboloide não intercepta o eixo
.
Resposta
O hiperboloide dado pela equação
possui uma folha. A interseção com o plano
resulta em uma hipérbole representada por
. As interseções com os eixos coordenados são apenas com o eixo
nos pontos
e
, não havendo interseções com os eixos
e
.