Determinar o centro dos seguintes elipsoides:
c. x^2+12 y^2+15 z^2-3 z=0
C=(0,0, 110)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o centro do elipsoide dado pela equação . Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com quadricas, e vamos precisar completar o quadrado para determinar as coordenadas do centro do elipsoide.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação dos termos quadráticos e lineares:
x^2 + 12 y^2 + 15 z^2 - 3 z = 0
Aqui, vemos que os termos em e já estão completos, mas o termo em está misturado. Para encontrar o centro, precisamos completar o quadrado para o termo em .

Passo 3

Vamos focar no termo em 15 z^2 - 3 z :
15 ( z^2 - 315 z ) = 15 ( z^2 - 15 z )
Factoramos o coeficiente de ( -152 )^2 = ( -110 )^2 = 1100 :
15 ( z^2 - 15 z + 1100 - 1100 ) = 15 ( ( z - 110 )^2 - 1100 )
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses. Lembre-se que para completar o quadrado de uma expressão , adicionamos e subtraímos .
Neste caso, , então:
Então, adicionamos e subtraímos :

Passo 4

Agora, substituímos de volta na equação original:
x^2 + 12 y^2 + 15 ( ( z - 110 )^2 - 1100 ) = 0
Distribuímos o 15:
x^2 + 12 y^2 + 15 ( z - 110 )^2 - 15100 = 0
Simplificamos x^2 + 12 y^2 + 15 ( z - 110 )^2 - 320 = 0 para :

Passo 5

Isolamos os termos quadráticos:
x^2 + 12 y^2 + 15 ( z - 110 )^2 = 320
Dividimos toda a equação por x^2320 + 12 y^2320 + 15 ( z - 110 )^2320 = 1 para colocar na forma padrão do elipsoide:
203 x^2 + 2403 y^2 + 3003 ( z - 110 )^2 = 1
Simplificamos as frações:
203 x^2 + 80 y^2 + 100 ( z - 110 )^2 = 1
Ou seja:

Passo 6

Comparando com a forma padrão do elipsoide:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 + (z - l)^2c^2 = 1
Podemos identificar as coordenadas do centro l = 110 . No nosso caso, percebemos que os termos em e não têm deslocamento, então e . Já para , temos um deslocamento de :

Resposta

O centro do elipsoide é .

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