Determinar o centro dos seguintes elipsoides:
c.
c.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o centro do elipsoide dado pela equação
. Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com quadricas, e vamos precisar completar o quadrado para determinar as coordenadas do centro do elipsoide.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação dos termos quadráticos e lineares:
Aqui, vemos que os termos em
e
já estão completos, mas o termo em
está misturado. Para encontrar o centro, precisamos completar o quadrado para o termo em
.
Passo 3
Vamos focar no termo em
:
Factoramos o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses. Lembre-se que para completar o quadrado de uma expressão
, adicionamos e subtraímos
.
Neste caso,
, então:
Então, adicionamos e subtraímos
:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na equação original:
Distribuímos o 15:
Simplificamos
para
:
Passo 5
Isolamos os termos quadráticos:
Dividimos toda a equação por
para colocar na forma padrão do elipsoide:
Simplificamos as frações:
Ou seja:
Passo 6
Comparando com a forma padrão do elipsoide:
Podemos identificar as coordenadas do centro
. No nosso caso, percebemos que os termos em
e
não têm deslocamento, então
e
. Já para
, temos um deslocamento de
:
Resposta
O centro do elipsoide é
.