Considere a seguinte matriz:
A=[cccc -7 / 3 & 1 / 3 & -7 & -10 / 3 -5 & 3 & -9 & -2 -1 & 1 & 1 & 2 7 / 3 & -7 / 3 & 1 & -8 / 3 ]
Encontre o polinômio característico de A;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma matriz quadrada de ordem 4 e pede para encontrar o polinômio característico dessa matriz. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no tópico de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz , onde é a matriz identidade e é uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz I = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 . A matriz identidade lambda I = lambda & 0 & 0 & 0 0 & lambda & 0 & 0 0 & 0 & lambda & 0 0 & 0 & 0 & lambda de ordem 4 é:
A - lambda I = - 73 - lambda & 13 & -7 & -103 -5 & 3 - lambda & -9 & -2 -1 & 1 & 1 - lambda & 2 73 & -73 & 1 & -83 - lambda
Multiplicando por :
Agora, subtraímos da matriz :

Passo 3

Agora que temos p(lambda) = det(A - lambda I) , precisamos calcular o determinante dessa matriz. O polinômio característico é dado por:
Calcular o determinante de uma matriz 4x4 pode ser trabalhoso, mas vamos passo a passo usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Para simplificar, podemos fazer operações nas linhas para tornar a matriz triangular, se possível.

Passo 4

Vamos simplificar a matriz -7 - 3lambda & 1 & -21 & -10 -5 & 3 - lambda & -9 & -2 -1 & 1 & 1 - lambda & 2 7 & -7 & 3 & -8 - 3lambda . Primeiramente, multiplicamos a primeira linha por 3 para eliminar os denominadores:
det(A - lambda I) = (-7 - 3lambda) cdot det(M11) - 1 cdot det(M12) + (-21) cdot det(M13) -10 cdot det(M14)
Agora, vamos utilizar a expansão por cofatores na primeira linha:
Onde são as matrizes menores obtidas removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna.

Passo 5

Calculando cada um desses determinantes menores:
  1. Para M11 = 3 - lambda & -9 & -2 1 & 1 - lambda & 2 -7 & 3 & -8 - 3lambda :
M12 = -5 & -9 & -2 -1 & 1 - lambda & 2 7 & 3 & -8 - 3lambda
Calculamos M13 = -5 & 3 - lambda & -2 -1 & 1 & 2 7 & -7 & -8 - 3lambda .
  1. Para M14 = -5 & 3 - lambda & -9 -1 & 1 & 1 - lambda 7 & -7 & 3 :
Calculamos .
  1. Para :
Calculamos .
  1. Para :
Calculamos .

Passo 6

Após calcular cada um desses determinantes menores, substituímos de volta na expressão original:
p(lambda) = (-7 - 3lambda) cdot det(M11) - 1 cdot det(M12) + (-21) cdot det(M13) -10 cdot det(M14)
Simplificando essa expressão, obtemos o polinômio característico em termos de .

Resposta

O polinômio característico de p(lambda) = -3lambda^4 + lambda^3 + 49lambda^2 + 23lambda + 42 é:

Exercícios relacionados

Considere a seguinte matriz:
A=[cccc -7 / 3 & 1 / 3 & -7 & -10 / 3 -5 & 3 & -9 & -2 -1 & 1 & 1 & 2 7 / 3 & -7 / 3 & 1 & -8 / 3 ]
A partir das bases dos autoespaços, determine uma base ortonormal para A;
Faça um esboço gráfico das regiões abaixo
x^24-y^29 <= 1;
Determine os pontos em que a reta r de equação 5 x+y=5, intercepta a elipse de equação 25 x^2+y^2=25. Faça um esboço no plano cartesiano assinalando os pontos de interseção.
Faça um esboço gráfico das regiões a seguir
x^24+y^216 >= 1;