Determine os pontos em que a reta r de equação 5 x+y=5, intercepta a elipse de equação 25 x^2+y^2=25. Faça um esboço no plano cartesiano assinalando os pontos de interseção.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente encontrar os pontos onde a reta com a equação intercepta a elipse dada pela equação . Vamos usar álgebra para resolver isso, especificamente resolvendo um sistema de equações que envolve uma reta e uma elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar y = 5 - 5x da equação da reta em termos de . A equação da reta é . Isso significa que:
Agora que temos em termos de , podemos substituir essa expressão na equação da elipse para encontrar os valores de onde as duas curvas se interceptam.

Passo 3

Substituindo 25x^2 + (5 - 5x)^2 = 25 na equação da elipse (5 - 5x)^2 = 25 - 50x + 25x^2 :
25x^2 + 25 - 50x + 25x^2 = 25
Vamos expandir :
Então, a equação fica:

Passo 4

Somando os termos semelhantes:
50x^2 - 50x + 25 = 25
Subtraindo 25 de ambos os lados para simplificar:
50x^2 - 50x = 0
Podemos fatorar:
50x(x - 1) = 0

Passo 5

Agora, resolvemos para 50x = 0 ou x - 1 = 0 :
x = 0 ou x = 1
Isso nos dá duas soluções:

Passo 6

Com os valores de y = 5 - 5(0) = 5 , substituímos de volta na expressão y = 5 - 5(1) = 0 para encontrar os respectivos valores de :
  • Para :
  • Para :

Resposta

Os pontos de interseção são e .

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