Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer um esboço gráfico da região definida pela inequação . Isso envolve estudar geometria analítica, especificamente sobre elipses e como representamos regiões no plano cartesiano usando inequações. Vamos precisar entender a forma da elipse e determinar quais áreas estão incluídas na região indicada pela desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da equação que temos: . Essa é a equação geral de uma elipse centrada na origem (0,0) do plano cartesiano. A elipse tem seu eixo maior no eixo y porque o denominador de (16) é maior que o de (4).
Passo 3
Vamos encontrar os pontos principais da elipse:
O raio maior é a raiz quadrada de 16, que é 4. Então, a elipse se estende 4 unidades acima e abaixo do centro no eixo y.
O raio menor é a raiz quadrada de 4, que é 2. Assim, se estende 2 unidades para a direita e para a esquerda do centro no eixo x.
Portanto, os pontos onde a elipse toca os eixos são (0,4), (0,-4), (2,0) e (-2,0).
Passo 4
Agora, vamos desenhar a elipse no gráfico:
Marque os pontos (0,4), (0,-4), (2,0) e (-2,0) no plano cartesiano.
Desenhe uma curva suave que conecta esses pontos, formando a elipse.
Passo 5
A inequação dada é . Isso significa que queremos todas as coordenadas (x,y) onde a soma é maior ou igual a 1. Geometricamente, isso representa a região fora ou na própria elipse.
Passo 6
Para determinar a região correta:
Escolha um ponto fora da elipse, por exemplo, (0,5). Substituindo na inequação: → verdadeiro.
Escolha um ponto dentro da elipse, por exemplo, (0,0). Substituindo: → falso.
Isso confirma que a região que satisfy a inequação está fora da elipse, incluindo a própria elipse.
Resposta
Então, para esboçar o gráfico da inequação , desenhe a elipse centrada na origem com raio maior 4 no eixo y e raio menor 2 no eixo x. Em seguida, sombreie toda a área fora dessa elipse, incluindo a linha da própria elipse. Assim, você terá representado corretamente a região definida pela inequação.