Faça um esboço gráfico das regiões a seguir
x^24+y^216 >= 1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer um esboço gráfico da região definida pela inequação x^24+y^216 >= 1. Isso envolve estudar geometria analítica, especificamente sobre elipses e como representamos regiões no plano cartesiano usando inequações. Vamos precisar entender a forma da elipse e determinar quais áreas estão incluídas na região indicada pela desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da equação que temos: x^24+y^216 = 1. Essa é a equação geral de uma elipse centrada na origem (0,0) do plano cartesiano. A elipse tem seu eixo maior no eixo y porque o denominador de y^2 (16) é maior que o de x^2 (4).

Passo 3

Vamos encontrar os pontos principais da elipse:
  • O raio maior é a raiz quadrada de 16, que é 4. Então, a elipse se estende 4 unidades acima e abaixo do centro no eixo y.
  • O raio menor é a raiz quadrada de 4, que é 2. Assim, se estende 2 unidades para a direita e para a esquerda do centro no eixo x.
    Portanto, os pontos onde a elipse toca os eixos são (0,4), (0,-4), (2,0) e (-2,0).

Passo 4

Agora, vamos desenhar a elipse no gráfico:
  1. Marque os pontos (0,4), (0,-4), (2,0) e (-2,0) no plano cartesiano.
  2. Desenhe uma curva suave que conecta esses pontos, formando a elipse.

Passo 5

A inequação dada é x^24+y^216 >= 1. Isso significa que queremos todas as coordenadas (x,y) onde a soma x^24+y^216 é maior ou igual a 1. Geometricamente, isso representa a região fora ou na própria elipse.

Passo 6

Para determinar a região correta:
  • Escolha um ponto fora da elipse, por exemplo, (0,5). Substituindo na inequação: 04 + 2516 = 1.5625 >= 1 → verdadeiro.
  • Escolha um ponto dentro da elipse, por exemplo, (0,0). Substituindo: 04 + 016 = 0 >= 1 → falso.
    Isso confirma que a região que satisfy a inequação está fora da elipse, incluindo a própria elipse.

Resposta

Então, para esboçar o gráfico da inequação x^24+y^216 >= 1, desenhe a elipse centrada na origem com raio maior 4 no eixo y e raio menor 2 no eixo x. Em seguida, sombreie toda a área fora dessa elipse, incluindo a linha da própria elipse. Assim, você terá representado corretamente a região definida pela inequação.

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