Considere a seguinte matriz:
A=[cccc -7 / 3 & 1 / 3 & -7 & -10 / 3 -5 & 3 & -9 & -2 -1 & 1 & 1 & 2 7 / 3 & -7 / 3 & 1 & -8 / 3 ]
A partir das bases dos autoespaços, determine uma base ortonormal para A;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma base ortonormal para a matriz usando as bases dos seus autoespaços. Basicamente, isso quer dizer que vamos precisar encontrar os autovalores e os autovetores de , e então ajustar esses vetores para que sejam ortogonais entre si e tenham módulo 1 (ou seja, sejam unitários). Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores, autovetores e o processo de ortonormalização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são soluções da equação característica:
Onde é o autovalor e é a matriz identidade. Calculando o determinante dessa matriz, encontramos os valores de .

Passo 3

Depois de encontrar os autovalores, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada (A - lambda I)v = 0 encontrado, resolvemos a equação:
Isso nos dá os vetores que formam a base dos autoespaços de .

Passo 4

Com os autovetores em mãos, precisamos garantir que eles sejam ortogonais entre si e tenham módulo 1. Se os autovetores já forem ortogonais, basta normalizá-los dividindo cada vetor pelo seu comprimento:
u = v|v|
Se não forem ortogonais, usamos o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizá-los antes de normalizar.

Passo 5

Finalmente, organizamos os vetores ortonormais encontradas para formar a base ortonormal desejada para . Essa base será composta por vetores que são mutuamente ortogonais e de comprimento unitário, facilitando muitos cálculos posteriores envolvendo a matriz .

Resposta

A base ortonormal para a matriz u1, u2, u3, u4 é composta pelos vetores normalizados dos autovetores encontrados nos autoespaços de . Após o processo de ortonormalização, temos:
onde cada é um vetor unitário e ortogonal aos demais.

Exercícios relacionados

Faça um esboço gráfico das regiões abaixo
x^24-y^29 <= 1;
Considere o subespaço:
W=(b-c, a+4 b-3 c, a+b,-2 a-3 b+c) in R^4 mid a, b, c in R
Escolha uma base para W;
Considere a seguinte matriz:
A=[cccc -7 / 3 & 1 / 3 & -7 & -10 / 3 -5 & 3 & -9 & -2 -1 & 1 & 1 & 2 7 / 3 & -7 / 3 & 1 & -8 / 3 ]
Encontre o polinômio característico de A;
Determine os pontos em que a reta r de equação 5 x+y=5, intercepta a elipse de equação 25 x^2+y^2=25. Faça um esboço no plano cartesiano assinalando os pontos de interseção.