A partir das bases dos autoespaços, determine uma base ortonormal para A;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma base ortonormal para a matriz usando as bases dos seus autoespaços. Basicamente, isso quer dizer que vamos precisar encontrar os autovalores e os autovetores de , e então ajustar esses vetores para que sejam ortogonais entre si e tenham módulo 1 (ou seja, sejam unitários). Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores, autovetores e o processo de ortonormalização.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são soluções da equação característica:
Onde é o autovalor e é a matriz identidade. Calculando o determinante dessa matriz, encontramos os valores de .
Passo 3
Depois de encontrar os autovalores, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada (A - lambda I)v = 0 encontrado, resolvemos a equação:
Isso nos dá os vetores que formam a base dos autoespaços de .
Passo 4
Com os autovetores em mãos, precisamos garantir que eles sejam ortogonais entre si e tenham módulo 1. Se os autovetores já forem ortogonais, basta normalizá-los dividindo cada vetor pelo seu comprimento:
u = v|v|
Se não forem ortogonais, usamos o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizá-los antes de normalizar.
Passo 5
Finalmente, organizamos os vetores ortonormais encontradas para formar a base ortonormal desejada para . Essa base será composta por vetores que são mutuamente ortogonais e de comprimento unitário, facilitando muitos cálculos posteriores envolvendo a matriz .
Resposta
A base ortonormal para a matriz u1, u2, u3, u4 é composta pelos vetores normalizados dos autovetores encontrados nos autoespaços de . Após o processo de ortonormalização, temos:
onde cada é um vetor unitário e ortogonal aos demais.