Considere a seguinte matriz Determine os valores de lambda in R tais que existe X=[cx y z w] neq 0 que satisfaz A X=lambda X.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz A = 0 & 1 & -5 & -3 2 & -2 & -4 & 0 -1 & 2 & 4 & 0 2 & -4 & -4 & 2 e precisamos encontrar os valores de lambda in R tais que existe um vetor não nulo X = x y z w que satisfaz a equação A X = lambda X .
Isso significa que estamos procurando os valores próprios (ou autovalores) de A e seus respectivos vetores próprios. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de matrizes, determinantes e equações características.
Passo 2
Para encontrar os valores próprios lambda , precisamos resolver a equação característica da matriz A , que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade de mesma dimensão que A (neste caso, 4x4). A equação característica nos dá um polinômio cujo grau é igual à dimensão da matriz (4 neste caso), e suas raízes são os valores próprios que estamos buscando.
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz e igualá-lo a zero:
det(A - lambda I) = 0
Calcular determinantes de matrizes 4x4 pode ser trabalhoso, mas podemos simplificar usando co-fatores ou outras técnicas de expansão. Vamos expandir o determinante utilizando a primeira linha para facilitar os cálculos.
Passo 5
Usando a expansão por co-fatores na primeira linha:
Podemos tentar fatorar esse polinômio ou usar métodos numéricos para encontrar suas raízes reais. Após fatoração ou cálculo, encontramos os valores próprios:
lambda = 4, lambda = 2, lambda = -2, lambda = -2
Resposta
Os valores de lambda que satisfazem a equação A X = lambda X são lambda = 4 , lambda = 2 e lambda = -2 (com multiplicidade duas).