Encontre os valores de a para os quais o sistema linear
c) possui uma solução única e ache ela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os valores de l a x+y+z=a -x+a y+z=a x+y+a z=0 para os quais o sistema linear abaixo tem uma solução única e, depois, descobrir essa solução.
Vamos precisar usar conhecimentos de determinantes e sistemas lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Ela é assim:
A = a & 1 & 1 -1 & a & 1 1 & 1 & a
Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante dessa matriz precisa ser diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .
Passo 3
O determinante de uma matriz det(A) = a(a cdot a - 1 cdot 1) - 1(-1 cdot a - 1 cdot 1) + 1(-1 cdot 1 - a cdot 1) é calculado da seguinte forma:
det(A) = a(a^2 - 1) -1(-a -1) +1(-1 -a)
Vamos resolver passo a passo:
det(A) = a^3 - a + a + 1 -1 -a
det(A) = a^3 - a
Passo 4
Para que o sistema tenha uma solução única:
det(A) neq 0 Rightarrow a^3 - a neq 0
Vamos fatorar:
a(a^2 - 1) neq 0 Rightarrow a(a - 1)(a + 1) neq 0
Isso significa que não pode ser igual a , ou .
Passo 5
Agora que sabemos que x = det(Ax)det(A), y = det(Ay)det(A), z = det(Az)det(A) , vamos encontrar a solução única do sistema. Para isso, podemos usar o método de Cramer, que utiliza determinantes.
As soluções são dadas por:
Onde , , e são as matrizes substituindo a coluna correspondente pelas constantes do lado direito.
Passo 6
Vamos montar as matrizes Ax = a & 1 & 1 a & a & 1 0 & 1 & a , Ay = a & a & 1 -1 & a & 1 1 & 0 & a , Az = a & 1 & a -1 & a & a 1 & 1 & 0 , e :
Passo 7
Calculando os determinantes:
det(Ax) = a(a cdot a -1 cdot 1) -1(a cdot a -1 cdot 0) +1(a cdot1 - a cdot0) = a(a^2 -1) -1(a^2) +1(a) = a^3 - a -a^2 + a = a^3 - a^2
det(Ay) = a(a cdot a -1 cdot 1) -a(-1 cdot a -1 cdot1) +1(-1 cdot0 -a cdot1) = a(a^2 -1) -a(-a -1) +1(-a) = a^3 -a -a(-a) -a + (-a) = a^3 -a +a^2 -a = a^3 + a^2 -2a
det(Az) = a(a cdot0 -1 cdot1) -1(-1 cdot0 -1 cdot1) +a(-1 cdot1 -a cdot1) = a(0 -1) -1(0 -1) +a(-1 -a) = -a +1 -a -a^2 = -a^2 -2a +1
Passo 8
Agora, substituímos na fórmula de Cramer:
x = a^3 - a^2a^3 - a = a^2(a -1)a(a^2 -1) = a(a -1)a(a -1)(a +1) = 1a +1
Simplificando mais, mas para manter a clareza, vamos deixar assim.
Resposta
Os valores de x = 1a +1, y = a +2a +1, z = -a^2 -2a +1a(a^2 -1) para os quais o sistema possui uma solução única são todos os reais diferentes de , e .