Dadas as seguintes matrizes
A=(ccc -1 & 1 & i 2 & 0 & 3 2 i & -2 i & 2 ) B=(ccc 2 & 0 & -i 0 & 1 & 0 i & 3 & 2 )
calcule: Tr(B) e det(B)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! Aqui a gente tem duas matrizes, a A e a B, mas o foco é só na matriz B. O que a gente precisa calcular é a Traço de B multiplicado por e vezes o determinante de B, ou seja, Tr(B) cdot e cdot det(B). Para isso, vamos precisar entender o que são traço e determinante de uma matriz e como calculá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o traço de uma matriz. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal (aqueles que vão do canto superior esquerdo ao inferior direito). No caso da matriz B:
B=(ccc 2 & 0 & -i 0 & 1 & 0 i & 3 & 2 )
A diagonal principal tem os elementos 2, 1 e 2. Então, o traço de B é:
Tr(B) = 2 + 1 + 2 = 5

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz B. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser encontrado usando a regra de Sarrus ou a regra de co-fatores. Vamos usar a regra de Sarrus para simplificar:
B=(ccc 2 & 0 & -i 0 & 1 & 0 i & 3 & 2 )
Primeiro, copiamos as duas primeiras colunas ao lado da matriz:
ccc|cc 2 & 0 & -i & 2 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1 i & 3 & 2 & i & 3
Agora, somamos os produtos das diagonais da esquerda para a direita e subtraímos os da direita para a esquerda:
Soma das diagonais principais:
  • 2 cdot 1 cdot 2 = 4
  • 0 cdot 0 cdot i = 0
  • -i cdot 0 cdot 3 = 0
Total: 4 + 0 + 0 = 4
Soma das diagonais secundárias:
  • -i cdot 1 cdot i = -i^2 = -(-1) = 1
  • 2 cdot 0 cdot 3 = 0
  • 0 cdot 0 cdot 2 = 0
Total: 1 + 0 + 0 = 1
Agora, subtraímos as duas somas:
det(B) = 4 - 1 = 3

Passo 4

Agora que temos o traço e o determinante de B, vamos lembrar que “e” é a constante de Euler, aproximadamente 2,71828. Então, a expressão que precisamos calcular é:
Tr(B) cdot e cdot det(B) = 5 cdot e cdot 3

Resposta

Multiplicando os valores, temos:
5 cdot e cdot 3 = 15e approx 15 times 2,71828 approx 40,7742
Portanto, a resposta final é aproximadamente 40,7742.

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