Dadas as seguintes matrizes
calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! Aqui a gente tem duas matrizes, a A e a B, mas o foco é só na matriz B. O que a gente precisa calcular é a Traço de B multiplicado por e vezes o determinante de B, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender o que são traço e determinante de uma matriz e como calculá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o traço de uma matriz. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal (aqueles que vão do canto superior esquerdo ao inferior direito). No caso da matriz B:
A diagonal principal tem os elementos 2, 1 e 2. Então, o traço de B é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz B. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser encontrado usando a regra de Sarrus ou a regra de co-fatores. Vamos usar a regra de Sarrus para simplificar:
Primeiro, copiamos as duas primeiras colunas ao lado da matriz:
Agora, somamos os produtos das diagonais da esquerda para a direita e subtraímos os da direita para a esquerda:
Soma das diagonais principais:
Total:
Soma das diagonais secundárias:
Total:
Agora, subtraímos as duas somas:

Passo 4

Agora que temos o traço e o determinante de B, vamos lembrar que “e” é a constante de Euler, aproximadamente 2,71828. Então, a expressão que precisamos calcular é:

Resposta

Multiplicando os valores, temos:
Portanto, a resposta final é aproximadamente 40,7742.

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Dadas as seguintes matrizes
calcule:
Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde é a matriz identidade.
(e) Mostre que qualquer matriz pode ser escrita como: (i) a soma de uma matriz simétrica mais uma matriz antisimétrica ; (ii) a soma de uma matriz real mais uma matriz imaginária I; (iii) a soma de uma matriz hermitiana mais uma matriz anti-hermitiana .
Sejam e operadores lineares. O traço de um operador é a soma dos elementos diagonais de sua matriz representativa em uma dada base, ou seja, . Mostre que:
Considere a seguinte matriz hermitiana
(b) Encontre os autovalores e de .