Considere a seguinte matriz hermitiana
T=(ccc 2 & i & 1 -i & 2 & i 1 & -i & 2 )
(a) Calcule Tr(T) e det(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz hermitiana e precisa calcular o produto da traça de pelo determinante de . Para isso, vamos precisar entender o que são a traça e o determinante de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a traça de Tr(T) = T11 + T22 + T33 = 2 + 2 + 2 = 6 , que é simplesmente a soma dos elementos da diagonal principal da matriz. Ou seja, somamos os elementos que estão na posição , e :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de det(T) = T11(T22T33 - T23T32) - T12(T21T33 - T23T31) + T13(T21T32 - T22T31) . Para uma matriz det(T) = 2(2 cdot 2 - i cdot (-i)) - i(-i cdot 2 - i cdot 1) + 1(-i cdot (-i) - 2 cdot 1) , o determinante é calculado da seguinte forma:
Vamos substituir os valores:

Passo 4

Vamos simplificar cada parte:
  1. Primeiro termo:
    2(4 - i cdot (-i)) = 2(4 - (-i^2)) = 2(4 - (-(-1))) = 2(4 - 1) = 2 cdot 3 = 6
  2. Segundo termo:
    -i(-2i - i) = -i(-3i) = 3i^2 = 3(-1) = -3
  3. Terceiro termo:
    1(i^2 - 2) = 1(-1 - 2) = 1(-3) = -3

Passo 5

Agora, somamos todos os termos:
det(T) = 6 - 3 - 3 = 0

Passo 6

Finalmente, multiplicamos a traça pelo determinante:
Tr(T) cdot det(T) = 6 cdot 0 = 0

Resposta

O valor de é 0.

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