Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes juntos! A gente tem duas matrizes, a A e a B, e precisa descobrir se a matriz A tem inversa e também calcular a inversa da matriz B, ou seja, encontrar . Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e matrizes inversas. Vamos por partes, passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma matriz tem inversa. Uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) só tem inversa se o seu determinante for diferente de zero. Então, para saber se a A tem inversa e para encontrar , precisamos calcular os determinantes das duas matrizes.
Passo 3
Vamos começar calculando o determinante da matriz B. A matriz B é 3x3:
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
Calculando cada determinante menor:
Então,
Onde usamos que .
Passo 4
Como o determinante de B é 3, que é diferente de zero, sabemos que a matriz B tem inversa. Agora, vamos calcular .
A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
Onde é a adjunta de B, que é a transposta da matriz dos cofatores de B.
Passo 5
Vamos encontrar a matriz dos cofatores de B. Para cada elemento de B, calculamos o cofator:
Onde é a matriz que resulta ao remover a i-ésima linha e j-ésima coluna de B.
Calculando os cofatores:
Então, a matriz dos cofatores é:
Passo 6
Agora, vamos obter a adjunta de B, que é a transposta da matriz dos cofatores:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:
Passo 8
Agora, vamos verificar se a matriz A tem inversa calculando o seu determinante. A matriz A é:
Vamos calcular o determinante de A usando a expansão pela primeira linha:
Calculando cada determinante menor:
Então,
Lembrando que :
Resposta
A matriz A não possui inversa porque o seu determinante é zero. Já a inversa da matriz B é: