Dadas as seguintes matrizes
calcule: . A tem inversa?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes juntos! A gente tem duas matrizes, a A e a B, e precisa descobrir se a matriz A tem inversa e também calcular a inversa da matriz B, ou seja, encontrar . Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e matrizes inversas. Vamos por partes, passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma matriz tem inversa. Uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) só tem inversa se o seu determinante for diferente de zero. Então, para saber se a A tem inversa e para encontrar , precisamos calcular os determinantes das duas matrizes.

Passo 3

Vamos começar calculando o determinante da matriz B. A matriz B é 3x3:
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
Calculando cada determinante menor:
Então,
Onde usamos que .

Passo 4

Como o determinante de B é 3, que é diferente de zero, sabemos que a matriz B tem inversa. Agora, vamos calcular .
A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
Onde é a adjunta de B, que é a transposta da matriz dos cofatores de B.

Passo 5

Vamos encontrar a matriz dos cofatores de B. Para cada elemento de B, calculamos o cofator:
Onde é a matriz que resulta ao remover a i-ésima linha e j-ésima coluna de B.
Calculando os cofatores:
Então, a matriz dos cofatores é:

Passo 6

Agora, vamos obter a adjunta de B, que é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:

Passo 8

Agora, vamos verificar se a matriz A tem inversa calculando o seu determinante. A matriz A é:
Vamos calcular o determinante de A usando a expansão pela primeira linha:
Calculando cada determinante menor:
Então,
Lembrando que :

Resposta

A matriz A não possui inversa porque o seu determinante é zero. Já a inversa da matriz B é:

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Dadas as seguintes matrizes
calcule:
Use o procedimento de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base do espaço tridimensional:
,
, .
Considere a seguinte matriz hermitiana
(a) Calcule .