Dadas as seguintes matrizes
A=(ccc -1 & 1 & i 2 & 0 & 3 2 i & -2 i & 2 ) B=(ccc 2 & 0 & -i 0 & 1 & 0 i & 3 & 2 )
calcule: B^-1. A tem inversa?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes juntos! A gente tem duas matrizes, a A e a B, e precisa descobrir se a matriz A tem inversa e também calcular a inversa da matriz B, ou seja, encontrar . Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e matrizes inversas. Vamos por partes, passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma matriz tem inversa. Uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) só tem inversa se o seu determinante for diferente de zero. Então, para saber se a A tem inversa e para encontrar , precisamos calcular os determinantes das duas matrizes.

Passo 3

Vamos começar calculando o determinante da matriz B. A matriz B é 3x3:
B = 2 & 0 & -i 0 & 1 & 0 i & 3 & 2
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
det(B) = 2 cdot det1 & 0 3 & 2 - 0 cdot det0 & 0 i & 2 + (-i) cdot det0 & 1 i & 3
Calculando cada determinante menor:
det1 & 0 3 & 2 = (1)(2) - (0)(3) = 2
det0 & 1 i & 3 = (0)(3) - (1)(i) = -i
Então,
det(B) = 2 cdot 2 - 0 + (-i)(-i) = 4 + i^2 = 4 - 1 = 3
Onde usamos que .

Passo 4

Como o determinante de B é 3, que é diferente de zero, sabemos que a matriz B tem inversa. Agora, vamos calcular B^-1 = 1det(B) cdot adj(B) .
A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
Onde é a adjunta de B, que é a transposta da matriz dos cofatores de B.

Passo 5

Vamos encontrar a matriz dos cofatores de B. Para cada elemento de B, calculamos o cofator:
Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij)
Onde 1 & 0 3 & 2 é a matriz que resulta ao remover a i-ésima linha e j-ésima coluna de B.
Calculando os cofatores:
  • 0 & 0 i & 2
  • 0 & 1 i & 3
  • 0 & -i 3 & 2
  • 2 & -i i & 2
  • 2 & 0 i & 3
  • 0 & -i 1 & 0
  • 2 & -i 0 & 0
  • 2 & 0 0 & 1
  • Cof(B) = 2 & 0 & -i -3i & 3 & -6 i & 0 & 2
Então, a matriz dos cofatores é:

Passo 6

Agora, vamos obter a adjunta de B, que é a transposta da matriz dos cofatores:
adj(B) = 2 & -3i & i 0 & 3 & 0 -i & -6 & 2

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:
B^-1 = 1det(B) cdot adj(B) = 13 cdot 2 & -3i & i 0 & 3 & 0 -i & -6 & 2 = 23 & -i & i3 0 & 1 & 0 -i3 & -2 & 23

Passo 8

Agora, vamos verificar se a matriz A tem inversa calculando o seu determinante. A matriz A é:
A = -1 & 1 & i 2 & 0 & 3 2i & -2i & 2
Vamos calcular o determinante de A usando a expansão pela primeira linha:
det(A) = (-1) cdot det0 & 3 -2i & 2 - 1 cdot det2 & 3 2i & 2 + i cdot det2 & 0 2i & -2i
Calculando cada determinante menor:
det0 & 3 -2i & 2 = (0)(2) - (3)(-2i) = 6i
det2 & 3 2i & 2 = (2)(2) - (3)(2i) = 4 - 6i
det2 & 0 2i & -2i = (2)(-2i) - (0)(2i) = -4i
Então,
det(A) = (-1)(6i) - 1(4 - 6i) + i(-4i) = -6i - 4 + 6i -4i^2
Lembrando que det(A) = -6i + 6i -4 -4(-1) = -4 + 4 = 0 :

Resposta

A matriz A não possui inversa porque o seu determinante é zero. Já a inversa da matriz B é:
B^-1 = 23 & -i & i3 0 & 1 & 0 -i3 & -2 & 23

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