Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde é a matriz identidade.
(d) Mostre que se é hermitiana então é unitária.

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é mostrar que se é uma matriz hermitiana, então a matriz exponencial é unitária. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes hermitianas e unitárias, além da definição da exponencial de uma matriz usando a série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz hermitiana. Uma matriz é hermitiana se ela for igual à sua adjunta, ou seja, . A adjunta de uma matriz é a sua transposta conjugada.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a matriz exponencial . Ela é definida pela série de Taylor:
Aqui, é a matriz identidade.

Passo 4

Para provar que é unitária, precisamos mostrar que:
Uma matriz é unitária se o seu adjunto multiplicado por ela mesma resulta na matriz identidade.

Passo 5

Vamos calcular o adjunto de . Sabemos que o adjunto de uma soma é a soma dos adjuntos e que o adjunto de um produto escalar é o escalar conjugado multiplicado pelo adjunto da matriz. Então:

Passo 6

Portanto, temos que:

Passo 7

Agora, multiplicamos por :
Isso ocorre porque , e é a matriz identidade.

Passo 8

Então, mostramos que:
Isso prova que é uma matriz unitária.

Resposta

A matriz é unitária.

Exercícios relacionados

Considere a seguinte matriz hermitiana
(a) Calcule .
Dadas as seguintes matrizes
calcule:
Sejam e operadores lineares. O traço de um operador é a soma dos elementos diagonais de sua matriz representativa em uma dada base, ou seja, . Mostre que:
(o traço é invariante por permutação circular)