Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
e^M equiv 1+M+12! M^2+13! M^3+ldots
onde 1 é a matriz identidade.
(d) Mostre que se H é hermitiana então e^i H é unitária.

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é mostrar que se é uma matriz hermitiana, então a matriz exponencial é unitária. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes hermitianas e unitárias, além da definição da exponencial de uma matriz usando a série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz hermitiana. Uma matriz é hermitiana se ela for igual à sua adjunta, ou seja, . A adjunta de uma matriz é a sua transposta conjugada.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a matriz exponencial e^i H = 1 + iH + (iH)^22! + (iH)^33! + ldots . Ela é definida pela série de Taylor:
Aqui, é a matriz identidade.

Passo 4

Para provar que (e^i H)^dag>=r e^i H = 1 é unitária, precisamos mostrar que:
Uma matriz é unitária se o seu adjunto multiplicado por ela mesma resulta na matriz identidade.

Passo 5

Vamos calcular o adjunto de (e^i H)^dag>=r = (1)^dag>=r + (iH)^dag>=r + ((iH)^22!)^dag>=r + ldots = 1 - iH + (-iH)^22! + ldots = e^-i H . Sabemos que o adjunto de uma soma é a soma dos adjuntos e que o adjunto de um produto escalar é o escalar conjugado multiplicado pelo adjunto da matriz. Então:

Passo 6

Portanto, temos que:
(e^i H)^dag>=r = e^-i H

Passo 7

Agora, multiplicamos e^-i H e^i H = e^0 = 1 por :
Isso ocorre porque , e é a matriz identidade.

Passo 8

Então, mostramos que:
(e^i H)^dag>=r e^i H = 1
Isso prova que é uma matriz unitária.

Resposta

A matriz é unitária.

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