Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde
é a matriz identidade.
(d) Mostre que se
é hermitiana então
é unitária.
(d) Mostre que se
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é mostrar que se
é uma matriz hermitiana, então a matriz exponencial
é unitária. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes hermitianas e unitárias, além da definição da exponencial de uma matriz usando a série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz hermitiana. Uma matriz
é hermitiana se ela for igual à sua adjunta, ou seja,
. A adjunta de uma matriz é a sua transposta conjugada.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a matriz exponencial
. Ela é definida pela série de Taylor:
Aqui,
é a matriz identidade.
Passo 4
Para provar que
é unitária, precisamos mostrar que:
Uma matriz
é unitária se o seu adjunto multiplicado por ela mesma resulta na matriz identidade.
Passo 5
Vamos calcular o adjunto de
. Sabemos que o adjunto de uma soma é a soma dos adjuntos e que o adjunto de um produto escalar é o escalar conjugado multiplicado pelo adjunto da matriz. Então:
Passo 6
Portanto, temos que:
Passo 7
Agora, multiplicamos
por
:
Isso ocorre porque
, e
é a matriz identidade.
Passo 8
Então, mostramos que:
Isso prova que
é uma matriz unitária.
Resposta
A matriz
é unitária.