Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde é a matriz identidade.
(d) Mostre que se é hermitiana então é unitária.
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é mostrar que se é uma matriz hermitiana, então a matriz exponencial é unitária. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes hermitianas e unitárias, além da definição da exponencial de uma matriz usando a série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz hermitiana. Uma matriz é hermitiana se ela for igual à sua adjunta, ou seja, . A adjunta de uma matriz é a sua transposta conjugada.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a matriz exponencial . Ela é definida pela série de Taylor:
Aqui, é a matriz identidade.
Passo 4
Para provar que é unitária, precisamos mostrar que:
Uma matriz é unitária se o seu adjunto multiplicado por ela mesma resulta na matriz identidade.
Passo 5
Vamos calcular o adjunto de . Sabemos que o adjunto de uma soma é a soma dos adjuntos e que o adjunto de um produto escalar é o escalar conjugado multiplicado pelo adjunto da matriz. Então: