Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde
é a matriz identidade.
(a) Encontre
para
onde
é um número real.
(a) Encontre
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a exponencial de três matrizes diferentes usando a definição de série de Taylor. O conteúdo envolve funções de matrizes e séries de potências. Para isso, vamos precisar calcular potências das matrizes e somar os termos da série para obter
.
Passo 2
(a) (i) Primeiro, vamos considerar a matriz
Para calcular
, usamos a série de Taylor:
Vamos calcular algumas potências de
:
Observamos que as potências de
alternam entre múltiplos da identidade e múltiplos de
. Assim, podemos reescrever a série:
Agrupando os termos com
e
:
Reconhecemos as séries de cosseno e seno:
Substituindo
:
Passo 3
(a) (ii) Agora, consideramos a matriz diagonal
Para matrizes diagonais, a exponencial é fácil de calcular: basta calcular a exponencial de cada elemento da diagonal. Assim:
Isso porque, para uma matriz diagonal, cada elemento na diagonal se comporta independentemente dos outros na série de Taylor.
Passo 4
(a) (iii) Por último, temos a matriz
Novamente, calculamos as potências de
:
A série de Taylor fica:
Agrupando os termos:
Identificamos as séries de cosseno e seno novamente:
Substituindo
:
Resposta
(a) As exponenciais das matrizes são:
(i)
(ii)
(iii)