Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
e^M equiv 1+M+12! M^2+13! M^3+ldots
onde 1 é a matriz identidade.
(a) Encontre e^M para
(i) M=(cc 0 & theta -theta & 0 ) (ii) M=(cc theta & 0 0 & -theta ) (iii) M=(cc 0 & -i theta i theta & 0 )
onde theta é um número real.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a exponencial de três matrizes diferentes usando a definição de série de Taylor. O conteúdo envolve funções de matrizes e séries de potências. Para isso, vamos precisar calcular potências das matrizes e somar os termos da série para obter .

Passo 2

(a) (i) Primeiro, vamos considerar a matriz
M = 0 & theta -theta & 0
Para calcular e^M = 1 + M + 12!M^2 + 13!M^3 + ldots , usamos a série de Taylor:
M^2 = 0 & theta -theta & 0 0 & theta -theta & 0 = -theta^2 & 0 0 & -theta^2 = -theta^2 1
Vamos calcular algumas potências de M^3 = M cdot M^2 = -theta^2 M :
M^4 = M^2 cdot M^2 = theta^4 1
e^M = 1 + M + (-theta^2)2!1 + (-theta^2)3!M + theta^44!1 + ldots
e^M = 1 (1 - theta^22! + theta^44! - ldots ) + M (1 - theta^23! + theta^45! - ldots )
Observamos que as potências de e^M = cos(theta) 1 + sin(theta) Mtheta alternam entre múltiplos da identidade e múltiplos de e^M = cos(theta) & sin(theta) -sin(theta) & cos(theta) . Assim, podemos reescrever a série:
Agrupando os termos com e :
Reconhecemos as séries de cosseno e seno:
Substituindo :

Passo 3

(a) (ii) Agora, consideramos a matriz diagonal
M = theta & 0 0 & -theta
Para matrizes diagonais, a exponencial é fácil de calcular: basta calcular a exponencial de cada elemento da diagonal. Assim:
e^M = e^theta & 0 0 & e^-theta
Isso porque, para uma matriz diagonal, cada elemento na diagonal se comporta independentemente dos outros na série de Taylor.

Passo 4

(a) (iii) Por último, temos a matriz
M = 0 & -itheta itheta & 0
Novamente, calculamos as potências de M^2 = -theta^2 & 0 0 & -theta^2 = -theta^2 1 :
M^3 = -theta^2 M
M^4 = theta^4 1
e^M = 1 + M + (-theta^2)2!1 + (-theta^2)3!M + theta^44!1 + ldots
A série de Taylor fica:
e^M = 1 (1 - theta^22! + theta^44! - ldots ) + M (1 - theta^23! + theta^45! - ldots )
Agrupando os termos:
e^M = cos(theta) 1 + sin(theta) Mitheta = cos(theta) 1 + isin(theta) Mtheta
Identificamos as séries de cosseno e seno novamente:
e^M = cos(theta) & -isin(theta) isin(theta) & cos(theta)
Substituindo :

Resposta

(a) As exponenciais das matrizes são:
(i)
e^M = cos(theta) & sin(theta) -sin(theta) & cos(theta)
(ii)
e^M = e^theta & 0 0 & e^-theta
(iii)
e^M = cos(theta) & -isin(theta) isin(theta) & cos(theta)

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