Dadas as seguintes matrizes
A=(ccc -1 & 1 & i 2 & 0 & 3 2 i & -2 i & 2 ) B=(ccc 2 & 0 & -i 0 & 1 & 0 i & 3 & 2 )
calcule: [A, B]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes, a matriz A e a matriz B, e precisamos calcular o comutador delas, que é representado por [A, B]. Esse comutador é basicamente a diferença entre o produto de A por B e o produto de B por A, ou seja:
[A, B] = AB - BA
Para fazer isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e depois subtrair os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar a matriz A pela matriz B. Vamos lembrar que para multiplicar duas matrizes, a quantidade de colunas da primeira matriz precisa ser igual à quantidade de linhas da segunda. Aqui, ambas são matrizes 3 times 3, então tá tudo certo!
Vamos calcular AB passo a passo. Cada elemento da matriz resultante é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas de A pelas colunas de B.

Passo 3

Vamos calcular cada elemento de AB:
  • Elemento (1,1):
(-1) times 2 + 1 times 0 + i times i = -2 + 0 + i^2 = -2 + 0 - 1 = -3
  • Elemento (1,2):
(-1) times 0 + 1 times 1 + i times 3 = 0 + 1 + 3i = 1 + 3i
  • Elemento (1,3):
(-1) times (-i) + 1 times 0 + i times 2 = i + 0 + 2i = 3i
  • Elemento (2,1):
2 times 2 + 0 times 0 + 3 times i = 4 + 0 + 3i = 4 + 3i
  • Elemento (2,2):
2 times 0 + 0 times 1 + 3 times 3 = 0 + 0 + 9 = 9
  • Elemento (2,3):
2 times (-i) + 0 times 0 + 3 times 2 = -2i + 0 + 6 = 6 - 2i
  • Elemento (3,1):
2i times 2 + (-2i) times 0 + 2 times i = 4i + 0 + 2i = 6i
  • Elemento (3,2):
2i times 0 + (-2i) times 1 + 2 times 3 = 0 - 2i + 6 = 6 - 2i
  • Elemento (3,3):
2i times (-i) + (-2i) times 0 + 2 times 2 = -2i^2 + 0 + 4 = -2(-1) + 4 = 2 + 4 = 6
Então, a matriz AB fica:
AB = -3 & 1 + 3i & 3i 4 + 3i & 9 & 6 - 2i 6i & 6 - 2i & 6

Passo 4

Agora, vamos multiplicar a matriz B pela matriz A, ou seja, calcular BA. Vamos fazer o mesmo processo de multiplicação de matrizes.

Passo 5

Vamos calcular cada elemento de BA:
  • Elemento (1,1):
2 times (-1) + 0 times 2 + (-i) times 2i = -2 + 0 - 2i^2 = -2 - 2(-1) = -2 + 2 = 0
  • Elemento (1,2):
2 times 1 + 0 times 0 + (-i) times (-2i) = 2 + 0 + 2i^2 = 2 + 0 - 2 = 0
  • Elemento (1,3):
2 times i + 0 times 3 + (-i) times 2 = 2i + 0 - 2i = 0
  • Elemento (2,1):
0 times (-1) + 1 times 2 + 0 times 2i = 0 + 2 + 0 = 2
  • Elemento (2,2):
0 times 1 + 1 times 0 + 0 times (-2i) = 0 + 0 + 0 = 0
  • Elemento (2,3):
0 times i + 1 times 3 + 0 times 2 = 0 + 3 + 0 = 3
  • Elemento (3,1):
i times (-1) + 3 times 2 + 2 times 2i = -i + 6 + 4i = 6 + 3i
  • Elemento (3,2):
i times 1 + 3 times 0 + 2 times (-2i) = i + 0 - 4i = -3i
  • Elemento (3,3):
i times i + 3 times 3 + 2 times 2 = i^2 + 9 + 4 = -1 + 9 + 4 = 12
Então, a matriz BA fica:
BA = 0 & 0 & 0 2 & 0 & 3 6 + 3i & -3i & 12

Passo 6

Agora que temos AB e BA, vamos calcular o comutador [A, B] = AB - BA. Isso significa que vamos subtrair cada elemento correspondente de BA da matriz AB.

Passo 7

Vamos fazer a subtração elemento a elemento:
  • Elemento (1,1):
-3 - 0 = -3
  • Elemento (1,2):
(1 + 3i) - 0 = 1 + 3i
  • Elemento (1,3):
3i - 0 = 3i
  • Elemento (2,1):
(4 + 3i) - 2 = 2 + 3i
  • Elemento (2,2):
9 - 0 = 9
  • Elemento (2,3):
(6 - 2i) - 3 = 3 - 2i
  • Elemento (3,1):
6i - (6 + 3i) = 6i - 6 - 3i = -6 + 3i
  • Elemento (3,2):
(6 - 2i) - (-3i) = 6 - 2i + 3i = 6 + i
  • Elemento (3,3):
6 - 12 = -6
Então, a matriz [A, B] fica:
[A, B] = -3 & 1 + 3i & 3i 2 + 3i & 9 & 3 - 2i -6 + 3i & 6 + i & -6

Resposta

O comutador das matrizes A e B é:
[A, B] = -3 & 1 + 3i & 3i 2 + 3i & 9 & 3 - 2i -6 + 3i & 6 + i & -6

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