Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma matriz hermitiana chamada T=(ccc 2 & i & 1 -i & 2 & i 1 & -i & 2 ) :
O objetivo é encontrar uma matriz unitária que, quando usada para transformar , vai deixar a matriz diagonal. Isso significa que a gente quer ser uma matriz com números apenas na diagonal principal. Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e matrizes unitárias.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(T - lambda I) = 0 . Autovalores são números que indicam como a matriz transforma seus próprios vetores. Para encontrar os autovalores, resolvemos o determinante da matriz det(ccc 2-lambda & i & 1 -i & 2-lambda & i 1 & -i & 2-lambda ) = 0 igual a zero:
Para a nossa matriz , isso fica:
Calculando esse determinante (o que envolve um pouco de álgebra), encontramos que os autovalores são , e .
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Autovetores são vetores que, quando transformados pela matriz 1 -i 1 , apenas mudam de escala (multiplicados pelo autovalor), mas não de direção.
Para cada 1 0 -1 , resolvemos 1 i 1 para encontrar .
Para :
Resolvendo, encontramos o autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos o autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos o autovetor .
Passo 4
Agora, vamos normalizar esses autovetores para garantir que a matriz 1 -i 1 seja unitária. Isso significa que cada coluna de 1 0 -1 será um autovetor com comprimento 1 e eles serão ortogonais entre si.
Calculando as normas:
1 i 1
Então, os autovetores normalizados são:
Passo 5
Com os autovetores normalizados, podemos construir a matriz unitária S = (ccc 1raiz3 & 1raiz2 & 1raiz3 -iraiz3 & 0 & iraiz3 1raiz3 & -1raiz2 & 1raiz3 ) colocando esses vetores como colunas:
Passo 6
Agora, vamos verificar que S T S^-1 = (ccc 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 ) é realmente uma matriz diagonal. Como é unitária, é igual ao seu conjugado transposto . Ao multiplicar , a matriz resultante terá os autovalores na diagonal principal e zeros fora dela:
Isso confirma que diagonaliza .
Além disso, esse procedimento funciona para qualquer matriz hermitiana porque essas matrizes sempre têm um conjunto completo de autovetores ortonormais, permitindo que sejam diagonalizadas por uma matriz unitária.
Resposta
A matriz unitária S = (ccc 1raiz3 & 1raiz2 & 1raiz3 -iraiz3 & 0 & iraiz3 1raiz3 & -1raiz2 & 1raiz3 ) que diagonaliza S T S^-1 = (ccc 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 ) é:
E ao realizar a transformação , obtemos a matriz diagonal:
Isso mostra que qualquer matriz hermitiana pode ser diagonalizada por uma matriz unitária, confirmando o que queríamos demonstrar.