Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma matriz hermitiana chamada :
O objetivo é encontrar uma matriz unitária que, quando usada para transformar , vai deixar a matriz diagonal. Isso significa que a gente quer ser uma matriz com números apenas na diagonal principal. Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e matrizes unitárias.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Autovalores são números que indicam como a matriz transforma seus próprios vetores. Para encontrar os autovalores, resolvemos o determinante da matriz igual a zero:
Para a nossa matriz , isso fica:
Calculando esse determinante (o que envolve um pouco de álgebra), encontramos que os autovalores são , e .
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Autovetores são vetores que, quando transformados pela matriz , apenas mudam de escala (multiplicados pelo autovalor), mas não de direção.
Para cada , resolvemos para encontrar .
Para :
Resolvendo, encontramos o autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos o autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos o autovetor .
Passo 4
Agora, vamos normalizar esses autovetores para garantir que a matriz seja unitária. Isso significa que cada coluna de será um autovetor com comprimento 1 e eles serão ortogonais entre si.
Calculando as normas:
Então, os autovetores normalizados são:
Passo 5
Com os autovetores normalizados, podemos construir a matriz unitária colocando esses vetores como colunas:
Passo 6
Agora, vamos verificar que é realmente uma matriz diagonal. Como é unitária, é igual ao seu conjugado transposto . Ao multiplicar , a matriz resultante terá os autovalores na diagonal principal e zeros fora dela:
Isso confirma que diagonaliza .
Além disso, esse procedimento funciona para qualquer matriz hermitiana porque essas matrizes sempre têm um conjunto completo de autovetores ortonormais, permitindo que sejam diagonalizadas por uma matriz unitária.
Resposta
A matriz unitária que diagonaliza é:
E ao realizar a transformação , obtemos a matriz diagonal:
Isso mostra que qualquer matriz hermitiana pode ser diagonalizada por uma matriz unitária, confirmando o que queríamos demonstrar.