Considere a seguinte matriz hermitiana
(e) Construa a matriz unitária que diagonaliza e mostre explicitamente que diagonaliza T. Mostre que o item © vale para qualquer matriz hermitiana.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma matriz hermitiana chamada :
O objetivo é encontrar uma matriz unitária que, quando usada para transformar , vai deixar a matriz diagonal. Isso significa que a gente quer ser uma matriz com números apenas na diagonal principal. Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e matrizes unitárias.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Autovalores são números que indicam como a matriz transforma seus próprios vetores. Para encontrar os autovalores, resolvemos o determinante da matriz igual a zero:
Para a nossa matriz , isso fica:
Calculando esse determinante (o que envolve um pouco de álgebra), encontramos que os autovalores são , e .

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Autovetores são vetores que, quando transformados pela matriz , apenas mudam de escala (multiplicados pelo autovalor), mas não de direção.
Para cada , resolvemos para encontrar .
  1. Para :
Resolvendo, encontramos o autovetor .
  1. Para :
Resolvendo, encontramos o autovetor .
  1. Para :
Resolvendo, encontramos o autovetor .

Passo 4

Agora, vamos normalizar esses autovetores para garantir que a matriz seja unitária. Isso significa que cada coluna de será um autovetor com comprimento 1 e eles serão ortogonais entre si.
Calculando as normas:
Então, os autovetores normalizados são:

Passo 5

Com os autovetores normalizados, podemos construir a matriz unitária colocando esses vetores como colunas:

Passo 6

Agora, vamos verificar que é realmente uma matriz diagonal. Como é unitária, é igual ao seu conjugado transposto . Ao multiplicar , a matriz resultante terá os autovalores na diagonal principal e zeros fora dela:
Isso confirma que diagonaliza .
Além disso, esse procedimento funciona para qualquer matriz hermitiana porque essas matrizes sempre têm um conjunto completo de autovetores ortonormais, permitindo que sejam diagonalizadas por uma matriz unitária.

Resposta

A matriz unitária que diagonaliza é:
E ao realizar a transformação , obtemos a matriz diagonal:
Isso mostra que qualquer matriz hermitiana pode ser diagonalizada por uma matriz unitária, confirmando o que queríamos demonstrar.

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Sejam e operadores lineares. O traço de um operador é a soma dos elementos diagonais de sua matriz representativa em uma dada base, ou seja, . Mostre que:
(o traço é invariante por permutação circular)
Dadas as seguintes matrizes
calcule:
Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde é a matriz identidade.
© Mostre que se as matrizes e comutam, então
Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde é a matriz identidade.
(b) Mostre que se for diagonalizável, então
Isso é de fato verdade mesmo que não seja diagonalizável, mas é mais difícil provar no caso geral.