Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
e^M equiv 1+M+12! M^2+13! M^3+ldots
onde 1 é a matriz identidade.
(b) Mostre que se M for diagonalizável, então
det(e^M)=e^Tr(M)
Isso é de fato verdade mesmo que M não seja diagonalizável, mas é mais difícil provar no caso geral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se a matriz M é diagonalizável, então o determinante de e^M é igual a e elevado à soma dos elementos da diagonal principal de M, ou seja, det(e^M)=e^Tr(M). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como diagonalização, determinante e traço de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz M é diagonalizável se ela pode ser escrita como M = P D P^-1, onde P é uma matriz invertível e D é uma matriz diagonal (ou seja, só tem elementos na diagonal principal e zeros fora dela).

Passo 3

Agora, vamos considerar a função matriz e^M. Para uma matriz diagonalizável, podemos calcular e^M da seguinte forma:
e^M = e^P D P^-1 = P e^D P^-1
Isso acontece porque a exponenciação de uma matriz diagonalizada é simplesmente a matriz diagonal com os elementos exponenciados.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de e^M:
det(e^M) = det(P e^D P^-1)
Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes, e que det(P^-1) = 1det(P). Assim:
det(P e^D P^-1) = det(P) cdot det(e^D) cdot det(P^-1) = det(e^D)

Passo 5

Agora, vamos focar em det(e^D). Como D é uma matriz diagonal, e^D também será uma matriz diagonal onde cada elemento da diagonal é e elevado ao correspondente elemento da diagonal de D. Então:
det(e^D) = prodi e^dii = e^sumi dii = e^Tr(D)
Aqui, Tr(D) é a soma dos elementos da diagonal de D.

Passo 6

Finalmente, como M e D são semelhantes (ou seja, têm o mesmo traço), temos que Tr(D) = Tr(M). Portanto:
det(e^M) = e^Tr(M)

Resposta

Mostramos que, se M for diagonalizável, então det(e^M)=e^Tr(M).

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