Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde é a matriz identidade.
(b) Mostre que se for diagonalizável, então
Isso é de fato verdade mesmo que não seja diagonalizável, mas é mais difícil provar no caso geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se a matriz é diagonalizável, então o determinante de é igual a elevado à soma dos elementos da diagonal principal de , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como diagonalização, determinante e traço de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se ela pode ser escrita como , onde é uma matriz invertível e é uma matriz diagonal (ou seja, só tem elementos na diagonal principal e zeros fora dela).
Passo 3
Agora, vamos considerar a função matriz . Para uma matriz diagonalizável, podemos calcular da seguinte forma:
Isso acontece porque a exponenciação de uma matriz diagonalizada é simplesmente a matriz diagonal com os elementos exponenciados.
Passo 4
Vamos calcular o determinante de :
Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes, e que . Assim:
Passo 5
Agora, vamos focar em . Como é uma matriz diagonal, também será uma matriz diagonal onde cada elemento da diagonal é elevado ao correspondente elemento da diagonal de . Então:
Aqui, é a soma dos elementos da diagonal de .
Passo 6
Finalmente, como e são semelhantes (ou seja, têm o mesmo traço), temos que . Portanto: