Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde
é a matriz identidade.
(b) Mostre que se
for diagonalizável, então
Isso é de fato verdade mesmo que
não seja diagonalizável, mas é mais difícil provar no caso geral.
(b) Mostre que se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se a matriz
é diagonalizável, então o determinante de
é igual a
elevado à soma dos elementos da diagonal principal de
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como diagonalização, determinante e traço de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz
é diagonalizável se ela pode ser escrita como
, onde
é uma matriz invertível e
é uma matriz diagonal (ou seja, só tem elementos na diagonal principal e zeros fora dela).
Passo 3
Agora, vamos considerar a função matriz
. Para uma matriz diagonalizável, podemos calcular
da seguinte forma:
Isso acontece porque a exponenciação de uma matriz diagonalizada é simplesmente a matriz diagonal com os elementos exponenciados.
Passo 4
Vamos calcular o determinante de
:
Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes, e que
. Assim:
Passo 5
Agora, vamos focar em
. Como
é uma matriz diagonal,
também será uma matriz diagonal onde cada elemento da diagonal é
elevado ao correspondente elemento da diagonal de
. Então:
Aqui,
é a soma dos elementos da diagonal de
.
Passo 6
Finalmente, como
e
são semelhantes (ou seja, têm o mesmo traço), temos que
. Portanto:
Resposta
Mostramos que, se
for diagonalizável, então
.