Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes, e , que comutam, ou seja, . Queremos mostrar que, nesse caso, a exponencial da soma dessas matrizes é igual ao produto das exponenciais individuais delas:
Para resolver isso, vamos usar a definição da exponencial de uma matriz via série de Taylor e a propriedade de comutatividade das matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da exponencial de uma matriz :
Onde é a matriz identidade. Vamos aplicar isso para , e .
Passo 3
Expandindo :
Agora, vamos expandir o produto :
Passo 4
Para multiplicar essas séries, vamos lembrar que quando as matrizes comutam, os produtos são mais fáceis de lidar. Ou seja, . Isso permite reordenar os termos sem problemas.
Ao multiplicar as duas séries, cada termo do primeiro multiplicará cada termo do segundo. Por exemplo:
E assim por diante para termos de maior ordem.
Passo 5
Devido à comutatividade, a multiplicação das séries e resulta exatamente na série de Taylor de . Isso acontece porque todos os termos combinados na multiplicação respeitam a ordem e os coeficientes das séries expandidas.