Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde é a matriz identidade.
© Mostre que se as matrizes e comutam, então

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes, e , que comutam, ou seja, . Queremos mostrar que, nesse caso, a exponencial da soma dessas matrizes é igual ao produto das exponenciais individuais delas:
Para resolver isso, vamos usar a definição da exponencial de uma matriz via série de Taylor e a propriedade de comutatividade das matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da exponencial de uma matriz :
Onde é a matriz identidade. Vamos aplicar isso para , e .

Passo 3

Expandindo :
Agora, vamos expandir o produto :

Passo 4

Para multiplicar essas séries, vamos lembrar que quando as matrizes comutam, os produtos são mais fáceis de lidar. Ou seja, . Isso permite reordenar os termos sem problemas.
Ao multiplicar as duas séries, cada termo do primeiro multiplicará cada termo do segundo. Por exemplo:
E assim por diante para termos de maior ordem.

Passo 5

Devido à comutatividade, a multiplicação das séries e resulta exatamente na série de Taylor de . Isso acontece porque todos os termos combinados na multiplicação respeitam a ordem e os coeficientes das séries expandidas.
Assim, temos:

Resposta

Portanto, se as matrizes e comutam, então:

Exercícios relacionados

Considere a seguinte matriz hermitiana
(e) Construa a matriz unitária que diagonaliza e mostre explicitamente que diagonaliza T. Mostre que o item © vale para qualquer matriz hermitiana.
Sejam e operadores lineares. O traço de um operador é a soma dos elementos diagonais de sua matriz representativa em uma dada base, ou seja, . Mostre que:
(o traço é invariante por permutação circular)
Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde é a matriz identidade.
(b) Mostre que se for diagonalizável, então
Isso é de fato verdade mesmo que não seja diagonalizável, mas é mais difícil provar no caso geral.
Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde é a matriz identidade.
(e) Mostre que qualquer matriz pode ser escrita como: (i) a soma de uma matriz simétrica mais uma matriz antisimétrica ; (ii) a soma de uma matriz real mais uma matriz imaginária I; (iii) a soma de uma matriz hermitiana mais uma matriz anti-hermitiana .