Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
e^M equiv 1+M+12! M^2+13! M^3+ldots
onde 1 é a matriz identidade.
© Mostre que se as matrizes M e N comutam, então
e^M+N=e^M e^N

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes, M e N, que comutam, ou seja, MN = NM. Queremos mostrar que, nesse caso, a exponencial da soma dessas matrizes é igual ao produto das exponenciais individuais delas:
e^M+N = e^M e^N
Para resolver isso, vamos usar a definição da exponencial de uma matriz via série de Taylor e a propriedade de comutatividade das matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da exponencial de uma matriz A:
e^A = 1 + A + 12!A^2 + 13!A^3 + ldots
Onde 1 é a matriz identidade. Vamos aplicar isso para e^M+N, e^M e e^N.

Passo 3

Expandindo e^M+N:
e^M+N = 1 + (M + N) + 12!(M + N)^2 + 13!(M + N)^3 + ldots
Agora, vamos expandir o produto e^M e^N:
e^M e^N = ( 1 + M + 12!M^2 + ldots ) ( 1 + N + 12!N^2 + ldots )

Passo 4

Para multiplicar essas séries, vamos lembrar que quando as matrizes comutam, os produtos são mais fáceis de lidar. Ou seja, MN = NM. Isso permite reordenar os termos sem problemas.
Ao multiplicar as duas séries, cada termo do primeiro multiplicará cada termo do segundo. Por exemplo:
M cdot N = N cdot M
M^2 cdot N = M cdot N cdot M = N cdot M^2
E assim por diante para termos de maior ordem.

Passo 5

Devido à comutatividade, a multiplicação das séries e^M e e^N resulta exatamente na série de Taylor de e^M+N. Isso acontece porque todos os termos combinados na multiplicação respeitam a ordem e os coeficientes das séries expandidas.
Assim, temos:
e^M e^N = 1 + (M + N) + 12!(M + N)^2 + 13!(M + N)^3 + ldots = e^M+N

Resposta

Portanto, se as matrizes M e N comutam, então:
e^M+N = e^M e^N

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