Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde
é a matriz identidade.
© Mostre que se as matrizes
e
comutam, então
© Mostre que se as matrizes
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes,
e
, que comutam, ou seja,
. Queremos mostrar que, nesse caso, a exponencial da soma dessas matrizes é igual ao produto das exponenciais individuais delas:
Para resolver isso, vamos usar a definição da exponencial de uma matriz via série de Taylor e a propriedade de comutatividade das matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da exponencial de uma matriz
:
Onde
é a matriz identidade. Vamos aplicar isso para
,
e
.
Passo 3
Expandindo
:
Agora, vamos expandir o produto
:
Passo 4
Para multiplicar essas séries, vamos lembrar que quando as matrizes comutam, os produtos são mais fáceis de lidar. Ou seja,
. Isso permite reordenar os termos sem problemas.
Ao multiplicar as duas séries, cada termo do primeiro multiplicará cada termo do segundo. Por exemplo:
E assim por diante para termos de maior ordem.
Passo 5
Devido à comutatividade, a multiplicação das séries
e
resulta exatamente na série de Taylor de
. Isso acontece porque todos os termos combinados na multiplicação respeitam a ordem e os coeficientes das séries expandidas.
Assim, temos:
Resposta
Portanto, se as matrizes
e
comutam, então: