Sejam e operadores lineares. O traço de um operador é a soma dos elementos diagonais de sua matriz representativa em uma dada base, ou seja, . Mostre que:
(o traço é invariante por permutação circular)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o traço de três operadores lineares, , e , é invariante quando fazemos uma permutação circular desses operadores. Ou seja, precisamos provar que:
Vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como a definição de traço e as propriedades de matrizes. Para resolver isso, vamos analisar cada expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de um operador linear. O traço de uma matriz , denotado por , é a soma dos elementos da diagonal principal dessa matriz:
Agora, queremos encontrar o traço do produto de três matrizes , e , ou seja, .

Passo 3

Vamos expandir usando a definição de traço:
Para calcular o elemento , usamos a regra de multiplicação de matrizes:
Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora, vamos observar que a soma dupla acima envolve índices que podem ser renomeados sem alterar o resultado final. Vamos fazer uma troca de índices para reordenar os fatores , e .
Por exemplo, podemos renomear os índices da seguinte forma:
  • Deixe virar
  • Deixe virar
  • Deixe virar
Assim, a soma fica:
Ou seja:

Passo 5

Observamos que a expressão para agora está igual à expressão para :
De forma semelhante, podemos fazer outras renomeações de índices para mostrar que:
Portanto, concluímos que o traço é invariante por permutação circular dos operadores.

Resposta

Exercícios relacionados

Dadas as seguintes matrizes
calcule:
Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde é a matriz identidade.
(d) Mostre que se é hermitiana então é unitária.
Considere a seguinte matriz hermitiana
(e) Construa a matriz unitária que diagonaliza e mostre explicitamente que diagonaliza T. Mostre que o item © vale para qualquer matriz hermitiana.
Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde é a matriz identidade.
© Mostre que se as matrizes e comutam, então