Sejam A, B e C operadores lineares. O traço de um operador é a soma dos elementos diagonais de sua matriz representativa em uma dada base, ou seja, Tr A=sumn An n. Mostre que:
Tr A B C=Tr B C A=Tr C A B (o traço é invariante por permutação circular)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o traço de três operadores lineares, Tr(A B C) = Tr(B C A) = Tr(C A B) , e , é invariante quando fazemos uma permutação circular desses operadores. Ou seja, precisamos provar que:
Vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como a definição de traço e as propriedades de matrizes. Para resolver isso, vamos analisar cada expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de um operador linear. O traço de uma matriz Tr(A) = sumn An n , denotado por , é a soma dos elementos da diagonal principal dessa matriz:
Agora, queremos encontrar o traço do produto de três matrizes , e , ou seja, .

Passo 3

Vamos expandir Tr(A B C) = sumi (A B C)i i usando a definição de traço:
(A B C)i i = sumj sumk Ai j Bj k Ck i
Para calcular o elemento Tr(A B C) = sumi sumj sumk Ai j Bj k Ck i , usamos a regra de multiplicação de matrizes:
Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora, vamos observar que a soma dupla acima envolve índices que podem ser renomeados sem alterar o resultado final. Vamos fazer uma troca de índices para reordenar os fatores sumj sumk sumi Bj k Ck i Ai j , Tr(B C A) = sumj sumk sumi Bj k Ck i Ai j e .
Por exemplo, podemos renomear os índices da seguinte forma:
  • Deixe virar
  • Deixe virar
  • Deixe virar
Assim, a soma fica:
Ou seja:

Passo 5

Observamos que a expressão para Tr(A B C) = Tr(B C A) agora está igual à expressão para Tr(B C A) = Tr(C A B) :
De forma semelhante, podemos fazer outras renomeações de índices para mostrar que:
Portanto, concluímos que o traço é invariante por permutação circular dos operadores.

Resposta

Tr(A B C) = Tr(B C A) = Tr(C A B)

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