Sejam e operadores lineares. O traço de um operador é a soma dos elementos diagonais de sua matriz representativa em uma dada base, ou seja, . Mostre que: (o traço é invariante por permutação circular)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o traço de três operadores lineares, , e , é invariante quando fazemos uma permutação circular desses operadores. Ou seja, precisamos provar que:
Vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como a definição de traço e as propriedades de matrizes. Para resolver isso, vamos analisar cada expressão passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de um operador linear. O traço de uma matriz , denotado por , é a soma dos elementos da diagonal principal dessa matriz:
Agora, queremos encontrar o traço do produto de três matrizes , e , ou seja, .
Passo 3
Vamos expandir usando a definição de traço:
Para calcular o elemento , usamos a regra de multiplicação de matrizes:
Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, vamos observar que a soma dupla acima envolve índices que podem ser renomeados sem alterar o resultado final. Vamos fazer uma troca de índices para reordenar os fatores , e .
Por exemplo, podemos renomear os índices da seguinte forma:
Deixe virar
Deixe virar
Deixe virar
Assim, a soma fica:
Ou seja:
Passo 5
Observamos que a expressão para agora está igual à expressão para :
De forma semelhante, podemos fazer outras renomeações de índices para mostrar que:
Portanto, concluímos que o traço é invariante por permutação circular dos operadores.