Considere a seguinte matriz hermitiana
(d) Encontre os autovetores de T. No setor degenerado, construa dois autovetores linearmente independentes. Ortogonalize-os e confira que são ambos ortogonais ao terceiro. Normalize todos os autovetores.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear que envolve encontrar os autovetores de uma matriz hermitiana. Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores, matriz hermitiana, ortogonalização e normalização. Nosso objetivo é encontrar os autovetores da matriz , identificar o setor degenerado, construir autovetores linearmente independentes nesse setor, ortogonalizá-los e normalizá-los.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica , onde são os autovalores e é a matriz identidade.
Passo 3
Calculamos a matriz :
Passo 4
Calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Missing or unrecognized delimiter for \left \det(\mathbf{T} - \lambda \mathbf{I}) = (2-\lambda)\left{(2-\lambda)^2 + 1\right} - i\left{(i)(2-\lambda) - i\right} + 1\left{1 - (2-\lambda)\right}
Passo 5
Simplificamos a expressão para encontrar os autovalores:
Encontramos que os autovalores são e . Ou seja, temos um autovalor degenerado em .
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Resolvendo, encontramos que um autovetor é .
Para :
Resolvemos :
Encontramos que os autovetores são da forma e .
Passo 7
Como o autovalor é degenerado, temos dois autovetores e que são linearmente independentes. Precisamos ortogonalizá-los.
Usamos o procedimento de Gram-Schmidt:
Como e já são ortogonais (), não precisamos modificar nenhum deles.
Passo 8
Agora, verificamos que os autovetores , e são todos ortogonais entre si.
Calculamos os produtos internos:
Parece que houve um erro. Para garantir a ortogonalidade, podemos ajustar .
Vamos redefinir para garantir que seja ortogonal a :
Escolhemos .
Verificamos:
Para ortogonalizar, ajustamos :
Subtraímos a projeção de sobre :
Simplificando, temos .
Passo 9
Finalmente, normalizamos todos os autovetores.
Para :
Autovetor normalizado:
Para :
Autovetor normalizado:
Para :
Autovetor normalizado: