Considere a seguinte matriz hermitiana
T=(ccc 2 & i & 1 -i & 2 & i 1 & -i & 2 )
(d) Encontre os autovetores de T. No setor degenerado, construa dois autovetores linearmente independentes. Ortogonalize-os e confira que são ambos ortogonais ao terceiro. Normalize todos os autovetores.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear que envolve encontrar os autovetores de uma matriz hermitiana. Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores, matriz hermitiana, ortogonalização e normalização. Nosso objetivo é encontrar os autovetores da matriz , identificar o setor degenerado, construir autovetores linearmente independentes nesse setor, ortogonalizá-los e normalizá-los.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica , onde são os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 3

Calculamos a matriz T - lambda I = 2 - lambda & i & 1 -i & 2 - lambda & i 1 & -i & 2 - lambda :

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz:
det(T - lambda I) = (2-lambda)[(2-lambda)(2-lambda) - (-i)(i)] - i[(-i)(2-lambda) - i(1)] + 1[(-i)(-i) - (2-lambda)(1)]
Simplificando:

Passo 5

Simplificamos a expressão para encontrar os autovalores:
Encontramos que os autovalores são e . Ou seja, temos um autovalor degenerado em .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Para 1 & i & 1 -i & 1 & i 1 & -i & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos -1 & i & 1 -i & -1 & i 1 & -i & -1 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
$$

$$
Resolvendo, encontramos que um autovetor é .

Para :
Resolvemos :
$$

$$
Encontramos que os autovetores são da forma e .

Passo 7

Como o autovalor é degenerado, temos dois autovetores e que são linearmente independentes. Precisamos ortogonalizá-los.
Usamos o procedimento de Gram-Schmidt:
Como e já são ortogonais ( ), não precisamos modificar nenhum deles.

Passo 8

Agora, verificamos que os autovetores v1 cdot v2 = 1 cdot 1 + (-i) cdot 0 + 1 cdot (-1) = 0 , v1 cdot v3 = 1 cdot 0 + (-i) cdot 1 + 1 cdot 0 = -i neq 0 e v1 cdot v3 = 1 cdot 1 + (-i) cdot i + 1 cdot 1 = 1 + 1 + 1 = 3 neq 0 são todos ortogonais entre si.
Calculamos os produtos internos:
v3' = v3 - v1 cdot v3v1 cdot v1 v1 = (1, i, 1)^T - 33(1, -i, 1)^T = (0, 2i, 0)^T
Parece que houve um erro. Para garantir a ortogonalidade, podemos ajustar .
Vamos redefinir para garantir que seja ortogonal a :
Escolhemos .
Verificamos:
Para ortogonalizar, ajustamos :
Subtraímos a projeção de sobre :
Simplificando, temos .

Passo 9

Finalmente, normalizamos todos os autovetores.
Para |v1| = raiz1^2 + | -i |^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 :
u1 = 1raiz3(1, -i, 1)^T
Autovetor normalizado:
|v2| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz2
Para u2 = 1raiz2(1, 0, -1)^T :
|v3'| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = 1
Autovetor normalizado:
u3 = (0, 1, 0)^T
Para :
Autovetor normalizado:

Resposta

Os autovetores normalizados da matriz u1 = 1raiz3 1 -i 1 , u2 = 1raiz2 1 0 -1 , u3 = 0 1 0 são:

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