Considere a seguinte matriz hermitiana (d) Encontre os autovetores de T. No setor degenerado, construa dois autovetores linearmente independentes. Ortogonalize-os e confira que são ambos ortogonais ao terceiro. Normalize todos os autovetores.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear que envolve encontrar os autovetores de uma matriz hermitiana. Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores, matriz hermitiana, ortogonalização e normalização. Nosso objetivo é encontrar os autovetores da matriz , identificar o setor degenerado, construir autovetores linearmente independentes nesse setor, ortogonalizá-los e normalizá-los.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica , onde são os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 3

Calculamos a matriz :

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz: Simplificando: Missing or unrecognized delimiter for \left \det(\mathbf{T} - \lambda \mathbf{I}) = (2-\lambda)\left{(2-\lambda)^2 + 1\right} - i\left{(i)(2-\lambda) - i\right} + 1\left{1 - (2-\lambda)\right}

Passo 5

Simplificamos a expressão para encontrar os autovalores: Encontramos que os autovalores são e . Ou seja, temos um autovalor degenerado em .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para : Resolvemos : Resolvendo, encontramos que um autovetor é . Para : Resolvemos : Encontramos que os autovetores são da forma e .

Passo 7

Como o autovalor é degenerado, temos dois autovetores e que são linearmente independentes. Precisamos ortogonalizá-los. Usamos o procedimento de Gram-Schmidt: Como e já são ortogonais (), não precisamos modificar nenhum deles.

Passo 8

Agora, verificamos que os autovetores , e são todos ortogonais entre si. Calculamos os produtos internos: Parece que houve um erro. Para garantir a ortogonalidade, podemos ajustar . Vamos redefinir para garantir que seja ortogonal a : Escolhemos . Verificamos: Para ortogonalizar, ajustamos : Subtraímos a projeção de sobre : Simplificando, temos .

Passo 9

Finalmente, normalizamos todos os autovetores. Para : Autovetor normalizado: Para : Autovetor normalizado: Para : Autovetor normalizado:

Resposta

Os autovetores normalizados da matriz são:

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