Use o procedimento de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base do espaço tridimensional:
,
, .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar uma base no espaço tridimensional. Basicamente, isso significa transformar um conjunto de vetores que não estão necessariamente perpendiculares ou com comprimento 1 em um conjunto de vetores que são todos perpendiculares entre si e têm comprimento igual a 1. Para isso, vamos precisar trabalhar com vetores, produtos internos e normalização.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os vetores que temos:
Nosso objetivo é transformar esses vetores em uma base ortonormal.

Passo 3

Começamos com o primeiro vetor . O primeiro passo do Gram-Schmidt é normalizar esse vetor. Para normalizar, calculamos o produto interno de consigo mesmo e depois tiramos a raiz quadrada para encontrar o comprimento do vetor.
Calculando o produto interno:
Então, o comprimento de é .
Agora, normalizamos :

Passo 4

Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor em relação a . Isso significa que vamos remover qualquer componente de que esteja na direção de .
Calculamos o projeção de em :
Primeiro, calculamos o produto interno:
Então, a projeção é:
Agora, subtraímos essa projeção de para obter :

Passo 5

Agora, precisamos normalizar . Primeiro, calculamos o produto interno:
O comprimento de é . Então, a versão normalizada é:

Passo 6

Por fim, vamos ortogonalizar o terceiro vetor em relação a e .
Primeiro, calculamos a projeção de em :
Então,
Agora, calculamos a projeção de em :
Então,
Agora, subtraímos as projeções de :
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, normalizamos . Calculamos o produto interno:
O comprimento de é . Então, a versão normalizada é:

Resposta

A base ortonormal resultante é formada pelos vetores:

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Considere a seguinte matriz hermitiana
(d) Encontre os autovetores de T. No setor degenerado, construa dois autovetores linearmente independentes. Ortogonalize-os e confira que são ambos ortogonais ao terceiro. Normalize todos os autovetores.
Sejam e operadores lineares. O traço de um operador é a soma dos elementos diagonais de sua matriz representativa em uma dada base, ou seja, . Mostre que:
o traço de um operador é invariante por troca de base .
Dadas as seguintes matrizes
calcule:
Dadas as seguintes matrizes
calcule: . A tem inversa?