Use o procedimento de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base do espaço tridimensional: , , .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar uma base no espaço tridimensional. Basicamente, isso significa transformar um conjunto de vetores que não estão necessariamente perpendiculares ou com comprimento 1 em um conjunto de vetores que são todos perpendiculares entre si e têm comprimento igual a 1. Para isso, vamos precisar trabalhar com vetores, produtos internos e normalização.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar os vetores que temos:
Nosso objetivo é transformar esses vetores em uma base ortonormal.
Passo 3
Começamos com o primeiro vetor . O primeiro passo do Gram-Schmidt é normalizar esse vetor. Para normalizar, calculamos o produto interno de consigo mesmo e depois tiramos a raiz quadrada para encontrar o comprimento do vetor.
Calculando o produto interno:
Então, o comprimento de é .
Agora, normalizamos :
Passo 4
Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor em relação a . Isso significa que vamos remover qualquer componente de que esteja na direção de .
Calculamos o projeção de em :
Primeiro, calculamos o produto interno:
Então, a projeção é:
Agora, subtraímos essa projeção de para obter :
Passo 5
Agora, precisamos normalizar . Primeiro, calculamos o produto interno:
O comprimento de é . Então, a versão normalizada é:
Passo 6
Por fim, vamos ortogonalizar o terceiro vetor em relação a e .
Primeiro, calculamos a projeção de em :
Então,
Agora, calculamos a projeção de em :
Então,
Agora, subtraímos as projeções de :
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, normalizamos . Calculamos o produto interno:
O comprimento de é . Então, a versão normalizada é:
Resposta
A base ortonormal resultante é formada pelos vetores: