Use o procedimento de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base do espaço tridimensional:
,
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar uma base no espaço tridimensional. Basicamente, isso significa transformar um conjunto de vetores que não estão necessariamente perpendiculares ou com comprimento 1 em um conjunto de vetores que são todos perpendiculares entre si e têm comprimento igual a 1. Para isso, vamos precisar trabalhar com vetores, produtos internos e normalização.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar os vetores que temos:
Nosso objetivo é transformar esses vetores em uma base ortonormal.
Passo 3
Começamos com o primeiro vetor
. O primeiro passo do Gram-Schmidt é normalizar esse vetor. Para normalizar, calculamos o produto interno de
consigo mesmo e depois tiramos a raiz quadrada para encontrar o comprimento do vetor.
Calculando o produto interno:
Então, o comprimento de
é
.
Agora, normalizamos
:
Passo 4
Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor
em relação a
. Isso significa que vamos remover qualquer componente de
que esteja na direção de
.
Calculamos o projeção de
em
:
Primeiro, calculamos o produto interno:
Então, a projeção é:
Agora, subtraímos essa projeção de
para obter
:
Passo 5
Agora, precisamos normalizar
. Primeiro, calculamos o produto interno:
O comprimento de
é
. Então, a versão normalizada é:
Passo 6
Por fim, vamos ortogonalizar o terceiro vetor
em relação a
e
.
Primeiro, calculamos a projeção de
em
:
Então,
Agora, calculamos a projeção de
em
:
Então,
Agora, subtraímos as projeções de
:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, normalizamos
. Calculamos o produto interno:
O comprimento de
é
. Então, a versão normalizada é:
Resposta
A base ortonormal resultante é formada pelos vetores: