Use o procedimento de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base do espaço tridimensional:
|a1rang<==(1+i) i+j+i k,
|a2rang<==i i+3 j+k, |a3rang<==28 j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar uma base no espaço tridimensional. Basicamente, isso significa transformar um conjunto de vetores que não estão necessariamente perpendiculares ou com comprimento 1 em um conjunto de vetores que são todos perpendiculares entre si e têm comprimento igual a 1. Para isso, vamos precisar trabalhar com vetores, produtos internos e normalização.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os vetores que temos:
|a1rang<= = (1+i)i + j + ik
|a2rang<= = ii + 3j + k
|a3rang<= = 28j
Nosso objetivo é transformar esses vetores em uma base ortonormal.

Passo 3

Começamos com o primeiro vetor lang<= a1 | a1 rang<= = |1+i|^2 + |1|^2 + |i|^2 = (1^2 + 1^2) + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 = 4 . O primeiro passo do Gram-Schmidt é normalizar esse vetor. Para normalizar, calculamos o produto interno de |u1rang<= = |a1rang<=||a1rang<=| = 12[(1+i)i + j + ik] consigo mesmo e depois tiramos a raiz quadrada para encontrar o comprimento do vetor.
Calculando o produto interno:
Então, o comprimento de é .
Agora, normalizamos :

Passo 4

Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor proju1(a2) = lang<= u1 | a2 rang<= |u1rang<= em relação a lang<= u1 | a2 rang<= = 12[(1-i)i + (1)(3) + (-i)(1)] = 12[(i - i^2) + 3 - i] = 12[(i + 1) + 3 - i] = 12(4) = 2 . Isso significa que vamos remover qualquer componente de proju1(a2) = 2 cdot 12[(1+i)i + j + ik] = (1+i)i + j + ik que esteja na direção de |u2rang<= = |a2rang<= - proju1(a2) = [ii + 3j + k] - [(1+i)i + j + ik] = (-1)i + 2j + (1 - i)k .
Calculamos o projeção de em :
Primeiro, calculamos o produto interno:
Então, a projeção é:
Agora, subtraímos essa projeção de para obter :

Passo 5

Agora, precisamos normalizar lang<= u2 | u2 rang<= = |-1|^2 + |2|^2 + |1 - i|^2 = 1 + 4 + (1^2 + (-1)^2) = 1 + 4 + 2 = 7 . Primeiro, calculamos o produto interno:
|e2rang<= = |u2rang<=||u2rang<=| = 1raiz7[-i + 2j + (1 - i)k]
O comprimento de é . Então, a versão normalizada é:

Passo 6

Por fim, vamos ortogonalizar o terceiro vetor proju1(a3) = lang<= u1 | a3 rang<= |u1rang<= em relação a lang<= u1 | a3 rang<= = 12[0 + 1 cdot 28 + 0] = 282 = 14 e proju1(a3) = 14 cdot 12[(1+i)i + j + ik] = 7(1+i)i + 7j + 7ik .
Primeiro, calculamos a projeção de proje2(a3) = lang<= e2 | a3 rang<= |e2rang<= em lang<= e2 | a3 rang<= = 1raiz7[0 + 2 cdot 28 + 0] = 56raiz7 = 8raiz7 :
proje2(a3) = 8raiz7 cdot 1raiz7[-i + 2j + (1 - i)k] = 8[-i + 2j + (1 - i)k]
|u3rang<= = |a3rang<= - proju1(a3) - proje2(a3) = 28j - [7(1+i)i + 7j + 7ik] - [ -8i + 16j + 8(1 - i)k]
Então,
|u3rang<= = -7(1+i)i + 28j - 7j -8i + 16j - 8(1 - i)k -7ik
Agora, calculamos a projeção de = (-7 -7i -8)i + (28 -7 +16)j + (-8 +8i -7i)k em = (-15 -7i)i + 37j + (-8 +i)k :
Então,
Agora, subtraímos as projeções de :
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, normalizamos lang<= u3 | u3 rang<= = |-15 -7i|^2 + |37|^2 + |-8 +i|^2 = (15^2 + 7^2) + 37^2 + (8^2 + 1^2) = (225 + 49) + 1369 + (64 + 1) = 274 + 1369 + 65 = 1708 . Calculamos o produto interno:
|e3rang<= = |u3rang<=||u3rang<=| = 12raiz427[(-15 -7i)i + 37j + (-8 +i)k]
O comprimento de é . Então, a versão normalizada é:

Resposta

A base ortonormal resultante é formada pelos vetores:
|e1rang<= = 12[(1+i)i + j + ik]
|e2rang<= = 1raiz7[-i + 2j + (1 - i)k]
|e3rang<= = 12raiz427[(-15 -7i)i + 37j + (-8 +i)k]

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