Dadas as seguintes matrizes
calcule:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o , que é o conjugado transposto da matriz . Para isso, vamos precisar entender o que é o conjugado transposto e como aplicá-lo em matrizes com números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o conjugado transposto de uma matriz. O conjugado transposto, também conhecido como adjunto, é obtido de duas maneiras:
  1. Transpor a matriz: ou seja, trocar as linhas pelas colunas.
  2. Conjugar cada elemento: substituir cada número complexo por seu conjugado, ou seja, trocar o sinal da parte imaginária.
Matematicamente, se temos uma matriz , seu conjugado transposto é dado por:
onde é a transposta de e indica o conjugado complexo.

Passo 3

Vamos começar transpondo a matriz . A matriz é:
A transposta será:

Passo 4

Agora, vamos conjugar cada elemento da matriz transposta. Lembre-se que o conjugado de um número complexo é . Aplicando isso na matriz :
Ficando:

Resposta

Portanto, o conjugado transposto da matriz é:

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Calcule para os itens .
e
Calcule para os itens .
e
Sejam e operadores lineares. O traço de um operador é a soma dos elementos diagonais de sua matriz representativa em uma dada base, ou seja, . Mostre que:
o traço de um operador é invariante por troca de base .
Considere a seguinte matriz hermitiana
(d) Encontre os autovetores de T. No setor degenerado, construa dois autovetores linearmente independentes. Ortogonalize-os e confira que são ambos ortogonais ao terceiro. Normalize todos os autovetores.