Sejam
e
operadores lineares. O traço de um operador é a soma dos elementos diagonais de sua matriz representativa em uma dada base, ou seja,
. Mostre que:
o traço de um operador é invariante por troca de base
.
o traço de um operador é invariante por troca de base
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre operadores lineares
e
. A gente vai trabalhar com o traço de um operador, que é basicamente a soma dos elementos da diagonal principal da matriz que representa esse operador em uma certa base. A fórmula do traço é
.
O que precisamos mostrar é que o traço não muda se a gente trocar a base, ou seja, se a gente transformar o operador
usando uma matriz de mudança de base
. A transformação fica assim:
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa trocar de base. Quando mudamos a base de um operador linear, a sua representação matricial também muda. A nova matriz é dada por
, onde
é a matriz que transforma as coordenadas da antiga base para a nova.
Passo 3
Agora, vamos focar no traço. Queremos mostrar que
. Para isso, vamos calcular o traço da nova matriz
.
Passo 4
Lembre-se que o traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Então, temos:
Precisamos encontrar uma forma de simplificar essa expressão.
Passo 5
Vamos usar a propriedade de que o traço é invariante sob ciclos de multiplicação de matrizes. Ou seja,
.
Aqui está a manobra: movemos o
e o
ao redor da matriz dentro do traço.
Passo 6
Como
é a matriz identidade
, temos:
Porque multiplicar qualquer matriz pela identidade não muda a matriz.
Passo 7
Então, concluímos que:
Isso mostra que o traço é realmente invariante pela troca de base.
Resposta
O traço de um operador é invariante por troca de base, ou seja,
.