Considere o seguinte modelo de estado de um reator CSTR isotérmico:
onde
e
representam a concentração de dois componentes sobre o reator isotérmico; as condições iniciais são
.
Através de um rearranjo das equações acima, estas podem ser escritas como um EDO de
. Ordem:
com as condições iniciais
e a entrada inicial
.
Resolva a saída (concentração do componente 2 ) via passo unitário.
Aplique a Transformada de Laplace (TL) em cada elemento na Eq. 4. Observem que na primeira parte teremos
e na segunda parte
;
Através de um rearranjo das equações acima, estas podem ser escritas como um EDO de
Resolva a saída (concentração do componente 2 ) via passo unitário.
Aplique a Transformada de Laplace (TL) em cada elemento na Eq. 4. Observem que na primeira parte teremos
Passo 1
Resumo do Enunciado: Temos um reator CSTR isotérmico descrito por um sistema de equações diferenciais de primeira ordem para as concentrações
e
. A saída do sistema é
. As condições iniciais são
. Queremos resolver a saída
para uma entrada de passo unitário
aplicando a Transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, Transformada de Laplace e resposta a entradas unitárias.
Passo 2
Aplicando a Transformada de Laplace na Equação Diferencial:
A equação diferencial dada é:
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação, lembrando que
e
:
Como
, a equação simplifica para:
Passo 3
Isolando
:
Fatorando
no lado esquerdo da equação:
Isolando
:
Como a entrada é um passo unitário, temos
e, portanto,
. Substituindo na equação:
Passo 4
Decompondo em Frações Parciais:
Vamos decompor
em frações parciais para facilitar a Transformada Inversa de Laplace:
Onde
e
são as raízes do polinômio quadrático
. Calculando as raízes:
Portanto, podemos reescrever:
Para encontrar os coeficientes
,
e
, multiplicamos ambos os lados pela expressão denominadora original:
Encontrando
:
Para :
Para
Encontrando
:
Para :
Para
Encontrando
:
Para :
Para
Portanto, temos:
Passo 5
Aplicando a Transformada de Laplace Inversa:
Agora, encontramos
aplicando a Transformada de Laplace inversa a cada termo:
Sabendo que:
Portanto:
Simplificando:
Resposta
A saída do reator para um passo unitário é dada por:
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Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
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Determine os extremantes da função
no conjunto
:
.
Encontre
se
e
.