Considere o seguinte modelo de estado de um reator CSTR isotérmico:
onde e representam a concentração de dois componentes sobre o reator isotérmico; as condições iniciais são .
Através de um rearranjo das equações acima, estas podem ser escritas como um EDO de . Ordem:
com as condições iniciais e a entrada inicial .
Resolva a saída (concentração do componente 2 ) via passo unitário.
Aplique a Transformada de Laplace (TL) em cada elemento na Eq. 4. Observem que na primeira parte teremos e na segunda parte ;

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos um reator CSTR isotérmico descrito por um sistema de equações diferenciais de primeira ordem para as concentrações e . A saída do sistema é . As condições iniciais são . Queremos resolver a saída para uma entrada de passo unitário aplicando a Transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, Transformada de Laplace e resposta a entradas unitárias.

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace na Equação Diferencial:
A equação diferencial dada é:
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação, lembrando que e :
Como , a equação simplifica para:

Passo 3

Isolando :
Fatorando no lado esquerdo da equação:
Isolando :
Como a entrada é um passo unitário, temos e, portanto, . Substituindo na equação:

Passo 4

Decompondo em Frações Parciais:
Vamos decompor em frações parciais para facilitar a Transformada Inversa de Laplace:
Onde e são as raízes do polinômio quadrático . Calculando as raízes:
Portanto, podemos reescrever:
Para encontrar os coeficientes , e , multiplicamos ambos os lados pela expressão denominadora original:
Encontrando :
Para :
Encontrando :
Para :
Encontrando :
Para :
Portanto, temos:

Passo 5

Aplicando a Transformada de Laplace Inversa:
Agora, encontramos aplicando a Transformada de Laplace inversa a cada termo:
Sabendo que:
Portanto:
Simplificando:

Resposta

A saída do reator para um passo unitário é dada por:

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Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
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Determine os extremantes da função no conjunto : .
Encontre se e .