Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma série infinita e precisa descobrir se ela converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. A série é:
Aqui, estamos lidando com séries alternadas, que envolvem termos positivos e negativos que se alternam. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência absoluta e convergência condicional, além de aplicar testes de convergência para séries.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Vamos analisar a série dos valores absolutos:
Para testar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Integral, que é útil para séries com termos do tipo .
Passo 3
Aplicando o Teste da Integral, consideramos a integral:
Fazendo a substituição , então . A integral se transforma em:
Calculando essa integral:
Como a integral converge para um valor finito, pelo Teste da Integral, a série também converge.
Passo 4
Agora que sabemos que a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente. Isso porque a convergência absoluta implica na convergência da série original, independente do sinal alternado.