Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
sumn=2^+infty(-1)^n+1 1n(ln n)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma série infinita e precisa descobrir se ela converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. A série é:
sumn=2^+infty(-1)^n+1 1n(ln n)^2
Aqui, estamos lidando com séries alternadas, que envolvem termos positivos e negativos que se alternam. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência absoluta e convergência condicional, além de aplicar testes de convergência para séries.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Vamos analisar a série dos valores absolutos:
sumn=2^+infty |(-1)^n+1 1n(ln n)^2| = sumn=2^+infty 1n(ln n)^2
Para testar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Integral, que é útil para séries com termos do tipo .

Passo 3

Aplicando o Teste da Integral, consideramos a integral:
integral2^+infty 1x(ln x)^2 dx
Fazendo a substituição integralln 2^+infty 1t^2 dt, então [ -1t ]ln 2^+infty = 0 - ( -1ln 2 ) = 1ln 2. A integral se transforma em:
Calculando essa integral:
Como a integral converge para um valor finito, pelo Teste da Integral, a série também converge.

Passo 4

Agora que sabemos que a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente. Isso porque a convergência absoluta implica na convergência da série original, independente do sinal alternado.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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