Determine os extremantes da função f(x, y) = x^2 + 2y^2 no conjunto K = {(x, y) em R^2} : x^2 + y^2 <= 1.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que encontrar os extremantes (ou seja, os pontos onde a função alcança seus valores máximos e mínimos) da função dentro do conjunto , que é o círculo de raio 1 no plano, definido por . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de otimização com restrições, analisando tanto os pontos internos quanto os da fronteira desse círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os pontos internos do conjunto . Para encontrar os extremos internos, a gente calcula as derivadas parciais da função e iguala a zero.
A derivada parcial em relação a é:
Igualando a zero:
Já a derivada parcial em relação a é:
Igualando a zero:
Então, o único ponto crítico interno é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse ponto é um mínimo ou máximo. Calculamos o valor da função nesse ponto:
Como estamos dentro do círculo, precisamos também analisar os pontos na fronteira .

Passo 4

Na fronteira, podemos usar o método de Lagrange ou parametrizar a curva. Vamos parametrizar usando e , onde varia de 0 a .
Substituindo na função:
Podemos reescrever usando a identidade trigonométrica :
Como varia entre 0 e 1, o valor de na fronteira varia entre 1 e 2.

Passo 5

Então, comparando os valores:
  • No ponto interno , (mínimo).
  • Na fronteira, varia de 1 a 2.
Portanto, o mínimo global da função no conjunto é 0, atingido em , e o máximo global é 2, atingido nos pontos onde , ou seja, quando e .

Resposta

Os extremantes da função no conjunto são:
  • Mínimo global:
  • Máximo global:

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