Determine os extremantes da função
no conjunto
:
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que encontrar os extremantes (ou seja, os pontos onde a função alcança seus valores máximos e mínimos) da função
dentro do conjunto
, que é o círculo de raio 1 no plano, definido por
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de otimização com restrições, analisando tanto os pontos internos quanto os da fronteira desse círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os pontos internos do conjunto
. Para encontrar os extremos internos, a gente calcula as derivadas parciais da função e iguala a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
Igualando a zero:
Já a derivada parcial em relação a
é:
Igualando a zero:
Então, o único ponto crítico interno é
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse ponto é um mínimo ou máximo. Calculamos o valor da função nesse ponto:
Como estamos dentro do círculo, precisamos também analisar os pontos na fronteira
.
Passo 4
Na fronteira, podemos usar o método de Lagrange ou parametrizar a curva. Vamos parametrizar usando
e
, onde
varia de 0 a
.
Substituindo na função:
Podemos reescrever usando a identidade trigonométrica
:
Como
varia entre 0 e 1, o valor de
na fronteira varia entre 1 e 2.
Passo 5
Então, comparando os valores:
- No ponto interno
, (mínimo). - Na fronteira,
varia de 1 a 2.
Portanto, o mínimo global da função no conjunto
é 0, atingido em
, e o máximo global é 2, atingido nos pontos onde
, ou seja, quando
e
.
Resposta
Os extremantes da função
no conjunto
são:
- Mínimo global:
- Máximo global: