Encontre f(x) se f''(x) = 5 x^4 + 12 x^3 + e^x + cos(x), f'(0) = 3 e f(0) = 6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a função sabendo que sua segunda derivada é , e que e . Esse problema está dentro do conteúdo de cálculo, mais especificamente de integração de funções. Vamos precisar integrar duas vezes para chegar em , usando as condições iniciais para achar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar para encontrar a primeira derivada, . A integral de é:
Agora, vamos integrar termo por termo:
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, usamos a condição para encontrar a constante . Vamos substituir na expressão de :
Então, a expressão de fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar para encontrar :
Integrando termo por termo:
Então, juntando tudo:

Passo 5

Agora, usamos a condição para encontrar a constante . Vamos substituir na expressão de :
Então, a expressão final de é:

Resposta

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