Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Convergência Absoluta e o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos olhar para a série dos valores absolutos dos termos:

Passo 3

Simplificando os termos da série absoluta:
Então, a série se torna:

Passo 4

Sabemos que é a série harmônica, que diverge. Já a série converge porque é uma série com . Porém, a soma de uma série divergente com uma convergente ainda diverge. Portanto, a série dos valores absolutos diverge, o que significa que a série original não é absolutamente convergente.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero, então a série converge.
Vamos verificar cada condição:
  1. Positivos: para todo .
  2. Decrescentes: Vamos verificar se :
À medida que aumenta, e diminuem, então também diminui.
3. Tendem a zero:
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série converge condicionalmente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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