Considere a seguinte modificação do problema de valor inicial no Exemplo 2:
Encontre a solução em função de
e depois determine o valor crítico de
que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é o problema que temos aqui. A gente precisa resolver uma equação diferencial de segunda ordem:
Isso significa que a taxa de variação de
e a segunda derivada de
estão relacionadas com a própria função
. As condições iniciais que a gente tem são
e
. Nosso objetivo é encontrar a solução dessa equação em função de
e descobrir um valor crítico de
que separa as soluções que crescem positivamente daquelas que crescem em módulo, mas com valores negativos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais familiar:
Para resolver essa equação, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea. Vamos procurar soluções da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação diferencial:
Simplificando:
Como
nunca é zero, temos que resolver a equação característica:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada de
:
E a segunda derivada:
Aplicando a condição
:
Passo 8
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
em função de
.
Passo 9
Da equação (1), podemos expressar
. Substituindo na equação (2):
E, consequentemente:
Passo 10
Agora temos
e
em termos de
. Substituindo de volta na solução geral:
Essa é a solução em função de
.
Resposta
A solução da equação diferencial em função de
é:
Além disso, o valor crítico de
que separa as soluções que crescem positivamente das que crescem em módulo, mas com valores negativos, é aquele que iguala as taxas de crescimento das exponenciais, ou seja, corresponde ao ponto onde a solução passa de positiva para negativa. Calculando esse valor crítico, temos:
Simplificando:
Portanto, o valor crítico de
é:
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