Considere a seguinte modificação do problema de valor inicial no Exemplo 2:
Encontre a solução em função de e depois determine o valor crítico de que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o problema que temos aqui. A gente precisa resolver uma equação diferencial de segunda ordem:
Isso significa que a taxa de variação de e a segunda derivada de estão relacionadas com a própria função . As condições iniciais que a gente tem são e . Nosso objetivo é encontrar a solução dessa equação em função de e descobrir um valor crítico de que separa as soluções que crescem positivamente daquelas que crescem em módulo, mas com valores negativos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais familiar:
Para resolver essa equação, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea. Vamos procurar soluções da forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Como nunca é zero, temos que resolver a equação característica:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo :

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada de :
E a segunda derivada:
Aplicando a condição :

Passo 8

Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e em função de .

Passo 9

Da equação (1), podemos expressar . Substituindo na equação (2):
E, consequentemente:

Passo 10

Agora temos e em termos de . Substituindo de volta na solução geral:
Essa é a solução em função de .

Resposta

A solução da equação diferencial em função de é:
Além disso, o valor crítico de que separa as soluções que crescem positivamente das que crescem em módulo, mas com valores negativos, é aquele que iguala as taxas de crescimento das exponenciais, ou seja, corresponde ao ponto onde a solução passa de positiva para negativa. Calculando esse valor crítico, temos:
í
Simplificando:
í
Portanto, o valor crítico de é:
í

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