Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o limite. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre limites de sequências, especialmente quando temos funções exponenciais e trigonométricas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. No numerador, temos
. Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, então
está sempre entre 0 e 1. Ou seja:
Passo 3
Agora, olhamos para o denominador, que é
. A função exponencial cresce muito rápido quando
aumenta. Para valores grandes de
,
se torna extremamente grande.
Passo 4
Vamos agora considerar a sequência completa:
Como vimos, o numerador está sempre entre 0 e 1, enquanto o denominador cresce para o infinito. Portanto, a fração inteira vai ficando cada vez menor à medida que
aumenta.
Passo 5
Para formalizar isso, podemos usar o fato que, se o numerador é limitado e o denominador tende ao infinito, então a sequência tende a 0. Matematicamente:
Resposta
A sequência
converge e o limite é
.
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Considere a seguinte modificação do problema de valor inicial no Exemplo 2:
Encontre a solução em função de
e depois determine o valor crítico de
que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.