Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o limite. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre limites de sequências, especialmente quando temos funções exponenciais e trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. No numerador, temos . Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, então está sempre entre 0 e 1. Ou seja:

Passo 3

Agora, olhamos para o denominador, que é . A função exponencial cresce muito rápido quando aumenta. Para valores grandes de , se torna extremamente grande.

Passo 4

Vamos agora considerar a sequência completa:
Como vimos, o numerador está sempre entre 0 e 1, enquanto o denominador cresce para o infinito. Portanto, a fração inteira vai ficando cada vez menor à medida que aumenta.

Passo 5

Para formalizar isso, podemos usar o fato que, se o numerador é limitado e o denominador tende ao infinito, então a sequência tende a 0. Matematicamente:

Resposta

A sequência converge e o limite é .

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Considere a seguinte modificação do problema de valor inicial no Exemplo 2:
Encontre a solução em função de e depois determine o valor crítico de que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
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