Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência
converge ou diverge. Se ela converge, temos que achar o limite. Aqui, estamos trabalhando com sequences (sequências) e limites na matemática. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para entender o que acontece quando
cresce sem parar.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte dentro da raiz:
. Quando
é muito grande, o
domina o
, então a expressão dentro da raiz está praticamente como
. Mas a gente quer ser mais preciso para encontrar o limite.
Passo 3
Para simplificar a expressão
, vamos racionalizar. Isso significa multiplicar e dividir pela expressão conjugada para eliminar a raiz. A conjugada de
é
. Então:
Passo 4
Ao multiplicar, no numerador aplicamos a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a parte de baixo da fração. Dividimos numerador e denominador por
:
Passo 6
Quando
tende ao infinito (
),
tende a zero. Então, a expressão dentro da raiz fica:
Substituindo de volta:
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
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Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona.
a)
a)
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Considere a seguinte modificação do problema de valor inicial no Exemplo 2:
Encontre a solução em função de
e depois determine o valor crítico de
que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos.