Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência
converge ou diverge. Se ela converge, temos que achar o limite. Aqui, estamos trabalhando com sequences (sequências) e limites na matemática. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para entender o que acontece quando cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte dentro da raiz: . Quando é muito grande, o domina o , então a expressão dentro da raiz está praticamente como . Mas a gente quer ser mais preciso para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar a expressão , vamos racionalizar. Isso significa multiplicar e dividir pela expressão conjugada para eliminar a raiz. A conjugada de é . Então:

Passo 4

Ao multiplicar, no numerador aplicamos a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a parte de baixo da fração. Dividimos numerador e denominador por :

Passo 6

Quando tende ao infinito ( ), tende a zero. Então, a expressão dentro da raiz fica:
Substituindo de volta:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é

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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona.
a)
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Considere a seguinte modificação do problema de valor inicial no Exemplo 2:
Encontre a solução em função de e depois determine o valor crítico de que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos.