Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se essa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa achar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e analisar o comportamento dos termos exponenciais conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos do numerador e do denominador. No numerador, temos e . No denominador, temos e . Quando lidamos com potências, o número com a base maior geralmente domina o comportamento conforme aumenta. Aqui, 5 é maior que 3, então os termos com vão crescer muito mais rápido que os com .

Passo 3

Vamos reescrever a expressão separando os termos com 5 e -3 para facilitar a análise:
Podemos factorar no numerador e no denominador:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração dos potências de 5:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece com quando tende ao infinito. Como , vai tender a 0 quando cresce. Isso significa que:

Passo 6

Substituindo esses limites na expressão de , temos:
Então, o limite da sequência é .

Resposta

A sequência converge e seu limite é .

Exercícios relacionados

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Considere a seguinte modificação do problema de valor inicial no Exemplo 2:
Encontre a solução em função de e depois determine o valor crítico de que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.