Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se essa sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa achar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e analisar o comportamento dos termos exponenciais conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos do numerador e do denominador. No numerador, temos
e
. No denominador, temos
e
. Quando lidamos com potências, o número com a base maior geralmente domina o comportamento conforme
aumenta. Aqui, 5 é maior que 3, então os termos com
vão crescer muito mais rápido que os com
.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão separando os termos com 5 e -3 para facilitar a análise:
Podemos factorar
no numerador e
no denominador:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a fração dos potências de 5:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece com
quando
tende ao infinito. Como
,
vai tender a 0 quando
cresce. Isso significa que:
Passo 6
Substituindo esses limites na expressão de
, temos:
Então, o limite da sequência é
.
Resposta
A sequência
converge e seu limite é
.
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Considere a seguinte modificação do problema de valor inicial no Exemplo 2:
Encontre a solução em função de
e depois determine o valor crítico de
que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos.
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