Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
{(5^(n+1) + (-3)^(n+1)) / (5^(n+3) + (-3)^(n+3))}_{n ≥ 1}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se essa sequência {(5^(n+1) + (-3)^(n+1)) / (5^(n+3) + (-3)^(n+3))}_{n ≥ 1} converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa achar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e analisar o comportamento dos termos exponenciais conforme n cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos do numerador e do denominador. No numerador, temos e . No denominador, temos e . Quando lidamos com potências, o número com a base maior geralmente domina o comportamento conforme n aumenta. Aqui, 5 é maior que 3, então os termos com vão crescer muito mais rápido que os com .

Passo 3

Vamos reescrever a expressão separando os termos com 5 e -3 para facilitar a análise:
Podemos factorar no numerador e no denominador:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração dos potências de 5:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece com quando n tende ao infinito. Como , vai tender a 0 quando n cresce. Isso significa que:

Passo 6

Substituindo esses limites na expressão de , temos:
Então, o limite da sequência é .

Resposta

A sequência {(5^(n+1) + (-3)^(n+1)) / (5^(n+3) + (-3)^(n+3))}_{n ≥ 1} converge e seu limite é .

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