Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, observe que conforme
aumenta, o termo
fica cada vez menor, aproximando-se de zero. Isso significa que estamos lidando com o comportamento da função seno próximo a zero.
Passo 3
Sabemos que, para valores de
muito pequenos, a função seno pode ser aproximada por . Essa é uma aproximação útil quando
tende a zero, ou seja, .
Passo 4
Aplicando essa aproximação na nossa sequência, temos:
Isso sugere que, à medida que
tende ao infinito, o produto se aproxima de
.
Passo 5
Para confirmar formalmente, vamos calcular o limite da sequência:
Substituindo por sua aproximação quando
é grande:
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
Considere a seguinte modificação do problema de valor inicial no Exemplo 2:
Encontre a solução em função de
e depois determine o valor crítico de
que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
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