Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, observe que conforme aumenta, o termo fica cada vez menor, aproximando-se de zero. Isso significa que estamos lidando com o comportamento da função seno próximo a zero.

Passo 3

Sabemos que, para valores de muito pequenos, a função seno pode ser aproximada por . Essa é uma aproximação útil quando tende a zero, ou seja, .

Passo 4

Aplicando essa aproximação na nossa sequência, temos:
Isso sugere que, à medida que tende ao infinito, o produto se aproxima de .

Passo 5

Para confirmar formalmente, vamos calcular o limite da sequência:
Substituindo por sua aproximação quando é grande:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

Exercícios relacionados

Considere a seguinte modificação do problema de valor inicial no Exemplo 2:
Encontre a solução em função de e depois determine o valor crítico de que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.