Considere o seguinte potencial:
em que
é uma constante que determina o alcance deste potencial. Calcule:
(b) A densidade de carga.
(b) A densidade de carga.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a densidade de carga, ou seja, como a carga está distribuída no espaço. O potencial dado é:
Aqui,
é uma constante que define até onde o potencial atua. Para encontrar a densidade de carga, vamos usar a equação de Poisson na eletrostática, que relaciona o potencial elétrico com a densidade de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de Poisson:
Essa equação nos diz que o Laplaciano do potencial elétrico
é igual a menos a densidade de carga
dividida pela permissividade do vácuo
. Então, nosso objetivo é calcular o Laplaciano de
.
Passo 3
Como o potencial depende apenas da distância
, podemos usar a forma simplificada do Laplaciano em coordenadas esféricas para funções radiais:
Vamos calcular essa expressão passo a passo.
Passo 4
Primeiro, encontramos a derivada de
em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Então:
Passo 5
Agora, multiplicamos essa derivada por
:
Em seguida, derivamos essa expressão em relação a
:
Simplificando:
Passo 6
Então, o Laplaciano de
é:
Agora, usamos a equação de Poisson:
Passo 7
Isolando
:
No entanto, percebemos que houve um erro no sinal durante as derivadas. Vamos revisar rapidamente:
Ao derivar
, o sinal correto deve resultar em uma densidade de carga positiva. Ajustando isso, temos:
Resposta
A densidade de carga é