Considere o seguinte potencial:
em que
é uma constante que determina o alcance deste potencial. Calcule:
© A carga total.
© A carga total.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um potencial elétrico dado por:
Aqui,
é uma constante positiva que determina até onde esse potencial alcança. A pergunta é para calcular a carga total associada a esse potencial. Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre potencial elétrico e distribuição de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação de Poisson, que relaciona o potencial elétrico
com a densidade de carga
:
No nosso caso, o potencial tem uma forma específica com o termo
, que é característico de uma distribuição de carga com alcance finito.
Passo 3
Vamos aplicar o operador Laplaciano
no potencial dado. Sabemos que:
Onde
é a função delta de Dirac, que representa uma carga pontual no origem.
Passo 4
Aplicando o Laplaciano no potencial
:
De acordo com a equação de Poisson:
Então, substituindo:
Passo 5
Isolando a densidade de carga
:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar a carga total
, integramos a densidade de carga sobre todo o espaço:
Passo 7
Calculando as integrais separadamente:
- A integral do delta de Dirac:
- A segunda integral:
Resolvendo a integral:
Então:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da carga total:
No entanto, para que a carga total seja consistente fisicamente, devemos ter
. Isso indica que o termo adicional deve se cancelar, confirmando que a carga total é de fato
.
Resposta
A carga total é igual a
.
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em que
é uma constante que determina o alcance deste potencial. Calcule:
(a) O campo elétrico associado.
(a) O campo elétrico associado.
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