Encontre a auto-energia eletrostática de um elétron. Considere a carga do elétron como
. Considere também que o elétron é uma casca esférica de raio
. Esta auto-energia é positiva? O que acontece se fizermos
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a auto-energia eletrostática de um elétron, considerando que a carga do elétron é
e que ele é uma casca esférica de raio
. Além disso, precisamos descobrir se essa auto-energia é positiva e o que acontece se substituirmos
por
. Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre a energia armazenada em campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a auto-energia eletrostática. Basicamente, é a energia necessária para separar uma carga elétrica até o infinito, ou seja, é a energia que armazenamos no campo elétrico gerado por essa carga.
Passo 3
Como estamos tratando o elétron como uma casca esférica de raio
, toda a carga
está distribuída uniformemente na superfície da esfera. Para calcular a auto-energia, usamos a fórmula da energia eletrostática para uma esfera carregada:
Aqui,
é a carga total, que no nosso caso é
, e
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Substituindo
por
, a fórmula fica:
Essa expressão nos dá a auto-energia eletrostática do elétron modelado como uma casca esférica.
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal dessa energia. Como a carga
está ao quadrado na fórmula (
), a auto-energia
sempre será positiva, independentemente do valor de
. Isso faz sentido porque armazenar energia no campo elétrico requer trabalho, que é uma quantidade positiva.
Passo 6
Por fim, o que acontece se substituirmos
por
? Vamos ver:
Ou seja, mesmo que a carga seja negativa, o valor de
continua sendo positivo. Portanto, a auto-energia eletrostática permanece a mesma e positiva.
Resposta
A auto-energia eletrostática de um elétron modelado como uma casca esférica de raio
é
, que é sempre positiva. Se substituirmos
por
, a auto-energia continua sendo a mesma e positiva.
Exercícios relacionados
Considere o seguinte potencial:
em que
é uma constante que determina o alcance deste potencial. Calcule:
(b) A densidade de carga.
(b) A densidade de carga.
Considere o seguinte potencial:
em que
é uma constante que determina o alcance deste potencial. Calcule:
© A carga total.
© A carga total.
Calcule o campo elétrico devido a um disco de carga de raio
, nos pontos do eixo de simetria do disco. Considere o disco com densidade superficial de carga
uniforme. Qual o valor de
no centro do disco?
Calcule agora o campo elétrico de um disco, de raio , que possui densidade de carga
, cujo centro é o mesmo do disco de raio
. Use o princípio da superposição para combinar os dois resultados e obter o campo elétrico de uma
Calcule agora o campo elétrico de um disco, de raio
Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente (igualmente em todas as direções) com potência média de 4 kW . Uma antena receptora dipolo de 65 cm de comprimento está localizada a 6437 metros da estação. Calcule a força eletromotriz induzida pelas ondas de rádio na antena. Dica: calcule primeiro o valor médio do vetor de Poynting e o campo elétrico máximo.
(Solução: )
(Solução: