Encontre a auto-energia eletrostática de um elétron. Considere a carga do elétron como e. Considere também que o elétron é uma casca esférica de raio R. Esta auto-energia é positiva? O que acontece se fizermos e -e ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a auto-energia eletrostática de um elétron, considerando que a carga do elétron é e que ele é uma casca esférica de raio . Além disso, precisamos descobrir se essa auto-energia é positiva e o que acontece se substituirmos por . Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre a energia armazenada em campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a auto-energia eletrostática. Basicamente, é a energia necessária para separar uma carga elétrica até o infinito, ou seja, é a energia que armazenamos no campo elétrico gerado por essa carga.

Passo 3

Como estamos tratando o elétron como uma casca esférica de raio U = 12 cdot Q^24pivarepsilon0 R , toda a carga está distribuída uniformemente na superfície da esfera. Para calcular a auto-energia, usamos a fórmula da energia eletrostática para uma esfera carregada:
Aqui, é a carga total, que no nosso caso é , e é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Substituindo U = 12 cdot e^24pivarepsilon0 R = e^28pivarepsilon0 R por , a fórmula fica:
Essa expressão nos dá a auto-energia eletrostática do elétron modelado como uma casca esférica.

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal dessa energia. Como a carga está ao quadrado na fórmula ( ), a auto-energia sempre será positiva, independentemente do valor de . Isso faz sentido porque armazenar energia no campo elétrico requer trabalho, que é uma quantidade positiva.

Passo 6

Por fim, o que acontece se substituirmos U = (-e)^28pivarepsilon0 R = e^28pivarepsilon0 R por ? Vamos ver:
Ou seja, mesmo que a carga seja negativa, o valor de continua sendo positivo. Portanto, a auto-energia eletrostática permanece a mesma e positiva.

Resposta

A auto-energia eletrostática de um elétron modelado como uma casca esférica de raio é , que é sempre positiva. Se substituirmos por , a auto-energia continua sendo a mesma e positiva.

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