Considere o seguinte problema envolvendo a equação do calor modificada
com o modelo de uma fonte de calor externo. Suponha que e são funções contínuas em , Sendo
, quem sáo on problemas?
com e as partes de estado estacionário e transiente da solução, apresente quais são os problemas que e devem satisfazer.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um problema relacionado à equação do calor modificada. Precisamos encontrar quais problemas a parte estacionária e a parte transiente da solução devem satisfazer. Isso envolve entender como separar a solução total em duas partes e aplicar as condições dadas para cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, a questão nos diz que a solução pode ser dividida em duas partes: uma parte estacionária que não depende do tempo, e uma parte transiente que descreve as variações ao longo do tempo. Então, vamos escrever:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão na equação do calor modificada original:
Substituindo :
Como não depende do tempo, sua derivada temporal é zero:

Passo 4

Para separar os problemas de e , vamos igualar as partes que dependem apenas de e as que dependem de e . Começamos com a parte estacionária, onde todas as variações temporais desaparecem. Então, temos:
Isso nos dá a equação para :
Além disso, as condições de fronteira para são:

Passo 5

Agora, vamos focar na parte transiente . Com a equação anterior, a equação para fica:
As condições de fronteira para são obtidas subtraindo as condições de das condições originais de :
Além disso, a condição inicial para é:

Resposta

Os problemas que e devem satisfazer são:
Para a parte estacionária :
Para a parte transiente :

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Seja a extensão periódica par, de período , da função definida por
Obtenha a série de Fourier da função .
Resolva o sistema