Considere o seguinte problema envolvendo a equação do calor modificada
com o modelo de uma fonte de calor externo. Suponha que e são funções contínuas em , Sendo , quem sáo on problemas?
com e as partes de estado estacionário e transiente da solução, apresente quais são os problemas que e devem satisfazer.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um problema relacionado à equação do calor modificada. Precisamos encontrar quais problemas a parte estacionária e a parte transiente da solução devem satisfazer. Isso envolve entender como separar a solução total em duas partes e aplicar as condições dadas para cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, a questão nos diz que a solução pode ser dividida em duas partes: uma parte estacionária que não depende do tempo, e uma parte transiente que descreve as variações ao longo do tempo. Então, vamos escrever:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expressão na equação do calor modificada original:
Substituindo :
Como não depende do tempo, sua derivada temporal é zero:
Passo 4
Para separar os problemas de e , vamos igualar as partes que dependem apenas de e as que dependem de e . Começamos com a parte estacionária, onde todas as variações temporais desaparecem. Então, temos:
Isso nos dá a equação para :
Além disso, as condições de fronteira para são:
Passo 5
Agora, vamos focar na parte transiente . Com a equação anterior, a equação para fica:
As condições de fronteira para são obtidas subtraindo as condições de das condições originais de :