Considere o seguinte problema envolvendo a equação do calor modificada
l ui(x, t)=alpha^2 ux x(x, t)+s(x), 00 u(x, 0)=f(x), 00
com s o modelo de uma fonte de calor externo. Suponha que s e f são funções contínuas em [0, L], Sendo
u(x, t)=v(x)+u(x, t), quem sáo on problemas?
com v e w as partes de estado estacionário e transiente da solução, apresente quais são os problemas que v e w devem satisfazer.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um problema relacionado à equação do calor modificada. Precisamos encontrar quais problemas a parte estacionária e a parte transiente da solução devem satisfazer. Isso envolve entender como separar a solução total em duas partes e aplicar as condições dadas para cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, a questão nos diz que a solução u(x, t) = v(x) + w(x, t) pode ser dividida em duas partes: uma parte estacionária que não depende do tempo, e uma parte transiente que descreve as variações ao longo do tempo. Então, vamos escrever:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão na equação do calor modificada original:
ut(x, t) = alpha^2 uxx(x, t) + s(x)
Substituindo (v(x) + w(x, t))t = alpha^2 (v(x) + w(x, t))xx + s(x) :
wt(x, t) = alpha^2 (v''(x) + wxx(x, t)) + s(x)
Como não depende do tempo, sua derivada temporal é zero:

Passo 4

Para separar os problemas de 0 = alpha^2 v''(x) + s(x) e alpha^2 v''(x) + s(x) = 0 , vamos igualar as partes que dependem apenas de v(0) = T1 e as que dependem de v(L) = T2 e . Começamos com a parte estacionária, onde todas as variações temporais desaparecem. Então, temos:
Isso nos dá a equação para :
Além disso, as condições de fronteira para são:

Passo 5

Agora, vamos focar na parte transiente wt(x, t) = alpha^2 wxx(x, t) . Com a equação anterior, a equação para w(0, t) = u(0, t) - v(0) = T1 - T1 = 0 fica:
w(L, t) = u(L, t) - v(L) = T2 - T2 = 0
As condições de fronteira para w(x, 0) = u(x, 0) - v(x) = f(x) - v(x) são obtidas subtraindo as condições de das condições originais de :
Além disso, a condição inicial para é:

Resposta

Os problemas que alpha^2 v''(x) + s(x) = 0, & 0 < x < L v(0) = T1 v(L) = T2 e wt(x, t) = alpha^2 wxx(x, t), & 0 < x < L, t > 0 w(0, t) = 0 w(L, t) = 0, & t > 0 w(x, 0) = f(x) - v(x), & 0 < x < L devem satisfazer são:
Para a parte estacionária :
Para a parte transiente :

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