lim (x, y) (0,0) x^3 yx^6+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função quando se aproximam de . Esse é um problema de limites de funções de várias variáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como a função se comporta conforme nos aproximamos do ponto de diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as coordenadas x = r costheta e y = r sintheta e para coordenadas polares, porque isso facilita ver como a função se comporta perto da origem. Nas coordenadas polares, temos:
onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 3

Agora, substituímos x^3 yx^6+y^2 = (r costheta)^3 cdot (r sintheta)(r costheta)^6 + (r sintheta)^2 = r^4 cos^3theta sinthetar^6 cos^6theta + r^2 sin^2theta e na função original:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão dividindo o numerador e o denominador por r^4 cos^3theta sinthetar^6 cos^6theta + r^2 sin^2theta = r^2 cos^3theta sinthetar^4 cos^6theta + sin^2theta :
Dessa forma, fica mais fácil analisar o que acontece quando tende a zero.

Passo 5

Agora, vamos observar o comportamento da função quando 0sin^2theta = 0 . No numerador, temos que vai para zero. No denominador, o termo também vai para zero, então sobra . Então, a função fica aproximadamente:
Isso indica que independente do ângulo , o limite tende a zero.

Passo 6

Para garantir que o limite realmente existe e é igual a zero, vamos verificar alguns caminhos específicos:
  • Caminho x^3 cdot 0x^6 + 0 = 0 :
    0 cdot y0 + y^2 = 0
  • Caminho x^3 cdot x^3x^6 + x^6 = x^62x^6 = 12 :
  • Caminho :
Nesse último caso, o limite seria , mas isso entra em conflito com os outros caminhos que dão zero. Isso sugere que o limite não existe porque depende do caminho que você escolhe para se aproximar de .

Resposta

O limite não existe.

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