Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função
quando
se aproximam de
. Esse é um problema de limites de funções de várias variáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como a função se comporta conforme nos aproximamos do ponto
de diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar as coordenadas
e
para coordenadas polares, porque isso facilita ver como a função se comporta perto da origem. Nas coordenadas polares, temos:
onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Passo 3
Agora, substituímos
e
na função original:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão dividindo o numerador e o denominador por
:
Dessa forma, fica mais fácil analisar o que acontece quando
tende a zero.
Passo 5
Agora, vamos observar o comportamento da função quando
. No numerador, temos
que vai para zero. No denominador, o termo
também vai para zero, então sobra
. Então, a função fica aproximadamente:
Isso indica que independente do ângulo
, o limite tende a zero.
Passo 6
Para garantir que o limite realmente existe e é igual a zero, vamos verificar alguns caminhos específicos:
-
Caminho
: -
Caminho
: -
Caminho
:
Nesse último caso, o limite seria
, mas isso entra em conflito com os outros caminhos que dão zero. Isso sugere que o limite não existe porque depende do caminho que você escolhe para se aproximar de
.
Resposta
O limite
não existe.