Seja a extensão periódica par, de período , da função definida por
Obtenha a série de Fourier da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida no intervalo e queremos estender essa função de forma par e periódica com período para obter a série de Fourier da função . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções periódicas, funções pares e como calcular os coeficientes da série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a extensão par e periódica da função . Uma função par é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, . A periodicidade indica que a função se repete a cada intervalo de 2 unidades. Então, vamos estender para todo o eixo real mantendo essas propriedades.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que para encontrar a série de Fourier de uma função par, ela será composta apenas por termos de cosseno, já que os termos de seno desaparecem devido à simetria da função. A série de Fourier geral para uma função par é dada por:
onde no nosso caso.

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no período:
Como é par, podemos calcular de 0 a 1 e dobrar o resultado:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes para :
Novamente, como é par:
Vamos resolver essa integral por partes.

Passo 6

Utilizando a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Temos:
Resolvendo a segunda integral:
Então:
Avaliando de 0 a 1:
Portanto:

Resposta

A série de Fourier da função é dada por:

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