Seja
a extensão periódica par, de período
, da função
definida por
Obtenha a série de Fourier da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
definida no intervalo
e queremos estender essa função de forma par e periódica com período
para obter a série de Fourier da função
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções periódicas, funções pares e como calcular os coeficientes da série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a extensão par e periódica da função
. Uma função par é simétrica em relação ao eixo y, ou seja,
. A periodicidade
indica que a função se repete a cada intervalo de 2 unidades. Então, vamos estender
para todo o eixo real mantendo essas propriedades.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que para encontrar a série de Fourier de uma função par, ela será composta apenas por termos de cosseno, já que os termos de seno desaparecem devido à simetria da função. A série de Fourier geral para uma função par é dada por:
onde
no nosso caso.
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no período:
Como
é par, podemos calcular de 0 a 1 e dobrar o resultado:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
:
Novamente, como
é par:
Vamos resolver essa integral por partes.
Passo 6
Utilizando a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Temos:
Resolvendo a segunda integral:
Então:
Avaliando de 0 a 1:
Portanto:
Resposta
A série de Fourier da função
é dada por: