Seja a extensão periódica par, de período , da função definida por
Obtenha a série de Fourier da função .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida no intervalo e queremos estender essa função de forma par e periódica com período para obter a série de Fourier da função . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções periódicas, funções pares e como calcular os coeficientes da série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a extensão par e periódica da função . Uma função par é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, . A periodicidade indica que a função se repete a cada intervalo de 2 unidades. Então, vamos estender para todo o eixo real mantendo essas propriedades.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que para encontrar a série de Fourier de uma função par, ela será composta apenas por termos de cosseno, já que os termos de seno desaparecem devido à simetria da função. A série de Fourier geral para uma função par é dada por:
onde no nosso caso.
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no período:
Como é par, podemos calcular de 0 a 1 e dobrar o resultado: