Resolva o sistema {x' = -x + 4y, y' = -x + 3y}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me passou. A matéria aqui é equações diferenciais lineares, e vamos precisar usar matrizes e autovalores para achar a solução desse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema que temos:

Passo 3

Agora, vamos representar isso em forma de matriz. A matriz dos coeficientes é:

Passo 4

Para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante:
Calculando:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 5

Com o autovalor , vamos encontrar o autovetor correspondente resolvendo :

[


]
Da primeira equação:
Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 6

Como temos um autovalor com multiplicidade 2, precisamos encontrar um autovetor generalizado. Resolvemos :

[


]
Resolvendo:
Da primeira equação:
Podemos escolher , então . O autovetor generalizado é .

Passo 7

A solução geral do sistema é dada por:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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