Resolva o sistema

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me passou. A matéria aqui é equações diferenciais lineares, e vamos precisar usar matrizes e autovalores para achar a solução desse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema que temos:

Passo 3

Agora, vamos representar isso em forma de matriz. A matriz dos coeficientes é:

Passo 4

Para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante:
Calculando:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 5

Com o autovalor , vamos encontrar o autovetor correspondente resolvendo :

[


]
Da primeira equação:
Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 6

Como temos um autovalor com multiplicidade 2, precisamos encontrar um autovetor generalizado. Resolvemos :

[


]
Resolvendo:
Da primeira equação:
Podemos escolher , então . O autovetor generalizado é .

Passo 7

A solução geral do sistema é dada por:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Resolva
Determine se a integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor.
Seja a extensão periódica par, de período , da função definida por
Obtenha a série de Fourier da função .
Considere o seguinte problema envolvendo a equação do calor modificada
com o modelo de uma fonte de calor externo. Suponha que e são funções contínuas em , Sendo
, quem sáo on problemas?
com e as partes de estado estacionário e transiente da solução, apresente quais são os problemas que e devem satisfazer.