Resolva o sistema
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me passou. A matéria aqui é equações diferenciais lineares, e vamos precisar usar matrizes e autovalores para achar a solução desse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema que temos:
Passo 3
Agora, vamos representar isso em forma de matriz. A matriz dos coeficientes é:
Passo 4
Para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores
são encontrados resolvendo o determinante:
Calculando:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 5
Com o autovalor
, vamos encontrar o autovetor correspondente resolvendo
:
[
]
Da primeira equação:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Passo 6
Como temos um autovalor com multiplicidade 2, precisamos encontrar um autovetor generalizado. Resolvemos
:
[
]
Resolvendo:
Da primeira equação:
Podemos escolher
, então
. O autovetor generalizado é
.
Passo 7
A solução geral do sistema é dada por:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.