Considere o seguinte problema de programação linear. Minimize f = 4x + 5y, Sujeito a: x + 4y ≥ 53, x + 2y ≥ 7, x, y ≥ 0. O valor ótimo da função objetivo é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de programação linear juntos! A gente precisa minimizar a função objetivo $ f = 4x + 5y $ sujeita às restrições $ x + 4y \geq 53 $, $ x + 2y \geq 7 $ e $ x, y \geq 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de otimização e geometria para encontrar o valor ótimo da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa minimizar essa função. A função objetivo $ f = 4x + 5y $ representa o custo que queremos reduzir ao mínimo possível, levando em conta as variáveis $ x $ e $ y $. As restrições dadas nos dizem os limites dentro dos quais $ x $ e $ y $ devem estar para que a solução seja viável.
Passo 3
Vamos desenhar as restrições no plano cartesiano para visualizar a região viável. As restrições são:
- $ x + 4y \geq 53 $
- $ x + 2y \geq 7 $
- $ x \geq 0 $
- $ y \geq 0 $
Desenhando cada uma dessas inequações, encontramos a área comum que satisfaz todas elas.
Passo 4
Após desenhar, vemos que a região viável é um polígono limitado pelos pontos de interseção das restrições. Precisamos encontrar esses pontos de interseção para identificar os vértices do polígono.
Passo 5
Vamos calcular a interseção das duas restrições principais:
- $ x + 4y = 53 $
- $ x + 2y = 7 $
Subtraindo a segunda equação da primeira:
$ (x + 4y) - (x + 2y) = 53 - 7 $
$ 2y = 46 $
$ y = 23 $
Plugando $ y = 23 $ na segunda equação:
$ x + 2(23) = 7 $
$ x + 46 = 7 $
$ x = -39 $
Mas como $ x \geq 0 $, esse ponto não faz parte da região viável. Portanto, a única interseção válida está nos eixos.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos onde as restrições cortam os eixos:
Para $ x + 4y = 53 $:
- Quando $ x = 0 $: $ 4y = 53 $ ⇒ $ y = 13,25 $
- Quando $ y = 0 $: $ x = 53 $
Para $ x + 2y = 7 $:
- Quando $ x = 0 $: $ 2y = 7 $ ⇒ $ y = 3,5 $
- Quando $ y = 0 $: $ x = 7 $
Passo 7
Agora, temos os vértices da região viável:
- $ (0, 13,25) $
- $ (7, 0) $
Vamos avaliar a função objetivo $ f = 4x + 5y $ nesses pontos.
Passo 8
Calculando $ f $ em $ (0, 13,25) $:
$ f = 4(0) + 5(13,25) = 0 + 66,25 = 66,25 $
Calculando $ f $ em $ (7, 0) $:
$ f = 4(7) + 5(0) = 28 + 0 = 28 $
Resposta
O valor ótimo da função objetivo é $ 28 $ no ponto $ (7, 0) $.