Se
e
são duas soluções da equação diferencial
com
e
sendo contínuas em um intervalo aberto
, mostre que o wronskiano é dado por
onde
é uma constante determinada que depende
e
, mas não de
. Esta fórmula é conhecida como teorema de Abel.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre equações diferenciais. A gente tem duas soluções
e
de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
A tarefa é mostrar que o wronskiano dessas soluções é dado por:
Aqui,
é uma constante que depende das soluções
e
, mas não de
. Vamos usar o Teorema de Abel pra chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o wronskiano. O wronskiano de duas funções
e
é definido por:
Ele nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, vamos derivar o wronskiano em relação a
. Usando a regra do produto,
Perceba que os termos
se cancelam, ficando:
Passo 4
Sabemos que
e
são soluções da equação diferencial dada, ou seja,
Vamos substituir
e
nessa expressão:
Passo 5
Distribuindo os termos:
Note que os termos que envolvem
se cancelam:
Passo 6
Agora temos uma equação diferencial para o wronskiano:
Essa é uma equação diferencial linear simples que podemos resolver.
Passo 7
Para resolver
, usamos o método de separação de variáveis. Dividindo ambos os lados por
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Elevando ambos os lados para a base
:
Como
é uma constante, podemos chamar de
. Assim,
Resposta
Portanto, o wronskiano é dado por:
Exercícios relacionados
Considere o seguinte problema de valor inicial
Encontre a solução
em função de
e depois determine o valor crítico de
que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos. Res:
.
Resolva o problema de valor inicial dado.
(a) . Res:
.
(b) . Res:
.
© Res:
.
(d) Res:
.
(a)
(b)
©
(d)
Nos Problemas de 1 até 8, resolver a equação diferencial proposta:
5)
5)
Nos Problemas de 1 até 8, achar a solução geral da equação diferencial dada: