Se e são duas soluções da equação diferencial com e sendo contínuas em um intervalo aberto , mostre que o wronskiano é dado por
onde é uma constante determinada que depende e , mas não de . Esta fórmula é conhecida como teorema de Abel.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre equações diferenciais. A gente tem duas soluções e de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
A tarefa é mostrar que o wronskiano dessas soluções é dado por:
Aqui, é uma constante que depende das soluções e , mas não de . Vamos usar o Teorema de Abel pra chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o wronskiano. O wronskiano de duas funções e é definido por:
Ele nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos derivar o wronskiano em relação a . Usando a regra do produto,
Perceba que os termos se cancelam, ficando:

Passo 4

Sabemos que e são soluções da equação diferencial dada, ou seja,
Vamos substituir e nessa expressão:

Passo 5

Distribuindo os termos:
Note que os termos que envolvem se cancelam:

Passo 6

Agora temos uma equação diferencial para o wronskiano:
Essa é uma equação diferencial linear simples que podemos resolver.

Passo 7

Para resolver , usamos o método de separação de variáveis. Dividindo ambos os lados por :
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Elevando ambos os lados para a base :
Como é uma constante, podemos chamar de . Assim,

Resposta

Portanto, o wronskiano é dado por:

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Considere o seguinte problema de valor inicial
Encontre a solução em função de e depois determine o valor crítico de que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos. Res: .
Resolva o problema de valor inicial dado.
(a) . Res: .
(b) . Res: .
© Res: .
(d) Res: .
Nos Problemas de 1 até 8, resolver a equação diferencial proposta:
5)
Nos Problemas de 1 até 8, achar a solução geral da equação diferencial dada: