Se y1 e y2 são duas soluções da equação diferencial y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0 com p(t) e q(t) sendo contínuas em um intervalo aberto I, mostre que o wronskiano é dado por
W(y1, y2)(t)=C exp [-integral p(t) d t]
onde C é uma constante determinada que depende y1 e y2, mas não de t. Esta fórmula é conhecida como teorema de Abel.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre equações diferenciais. A gente tem duas soluções y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 e W(y1, y2)(t) = C exp [-integral p(t) dt] de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
A tarefa é mostrar que o wronskiano dessas soluções é dado por:
Aqui, é uma constante que depende das soluções e , mas não de . Vamos usar o Teorema de Abel pra chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o wronskiano. O wronskiano de duas funções W(y1, y2)(t) = y1(t) y2'(t) - y2(t) y1'(t) e é definido por:
Ele nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos derivar o wronskiano em relação a W' = y1' y2' + y1 y2'' - y2' y1' - y2 y1'' . Usando a regra do produto,
W' = y1 y2'' - y2 y1''
Perceba que os termos se cancelam, ficando:

Passo 4

Sabemos que y'' = -p(t)y' - q(t)y e W' = y1 (-p(t)y2' - q(t)y2) - y2 (-p(t)y1' - q(t)y1) são soluções da equação diferencial dada, ou seja,
Vamos substituir e nessa expressão:

Passo 5

Distribuindo os termos:
W' = -p(t)y1 y2' - q(t)y1 y2 + p(t)y2 y1' + q(t)y2 y1
Note que os termos que envolvem W' = -p(t)y1 y2' + p(t)y2 y1' = -p(t)(y1 y2' - y2 y1') = -p(t)W se cancelam:

Passo 6

Agora temos uma equação diferencial para o wronskiano:
W' = -p(t)W
Essa é uma equação diferencial linear simples que podemos resolver.

Passo 7

Para resolver W'W = -p(t) , usamos o método de separação de variáveis. Dividindo ambos os lados por ln |W| = -integral p(t) dt + C :
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Elevando ambos os lados para a base |W| = e^-integral p(t) dt + C = e^C e^-integral p(t) dt :
W = C e^-integral p(t) dt
Como é uma constante, podemos chamar de . Assim,

Resposta

Portanto, o wronskiano é dado por:
W(y1, y2)(t) = C exp [-integral p(t) dt]

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