Nos Problemas de 1 até 8, resolver a equação diferencial proposta:
5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial separável. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados. Vamos juntos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis e . A equação dada é:
Queremos colocar todas as funções de de um lado e as de do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve e o lado direito envolve . Vamos começar com o lado esquerdo:
Sabemos que é , e a integral de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, vamos integrar o lado direito:
Para integrar , podemos usar a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Integrando cada termo:

Passo 5

Colocando tudo junto, temos que:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Se e são duas soluções da equação diferencial com e sendo contínuas em um intervalo aberto , mostre que o wronskiano é dado por
onde é uma constante determinada que depende e , mas não de . Esta fórmula é conhecida como teorema de Abel.
Considere o seguinte problema de valor inicial
Encontre a solução em função de e depois determine o valor crítico de que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos. Res: .
Nos Problemas de 1 até 8, achar a solução geral da equação diferencial dada: