Nos Problemas de 1 até 8, resolver a equação diferencial proposta:
5)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial separável. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados. Vamos juntos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis
e
. A equação dada é:
Queremos colocar todas as funções de
de um lado e as de
do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve
e o lado direito envolve
. Vamos começar com o lado esquerdo:
Sabemos que
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos integrar o lado direito:
Para integrar
, podemos usar a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Integrando cada termo:
Passo 5
Colocando tudo junto, temos que:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Se
e
são duas soluções da equação diferencial
com
e
sendo contínuas em um intervalo aberto
, mostre que o wronskiano é dado por
onde
é uma constante determinada que depende
e
, mas não de
. Esta fórmula é conhecida como teorema de Abel.
Considere o seguinte problema de valor inicial
Encontre a solução
em função de
e depois determine o valor crítico de
que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos. Res:
.
Nos Problemas de 1 até 8, achar a solução geral da equação diferencial dada: