Considere a solução do PVI
dy/dt = f(y) ; y(0) = y0
Sabemos que se y0 > 0, então a solução se aproxima de 3, quando t -> +infinito. Se -2 < y0 < 0, então a solução se aproxima de -2 , quando t -> +infinito. Se y0 < -2, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce. Faça um esboço das soluções da equação diferencial dy/dt = f(y), para cada uma das funções f(y) dadas abaixo. Qual das alternativas representa a função f(y) do PVI acima?
a f(y) = -(y^3 - y^2 - 6y)(sen(y) + 2)
c f(y) = (y^3 - y^2 - 6y)(sen(y) - y)
b f(y) = (y^3 - y^2 - 6y)(sen(y - 3) - y + 3)
f(y) = (y^3 - y^2 - 6y)(sen(y + 2) - y - 2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) dado pela equação diferencial:
dy/dt = f(y) ; y(0) = y0
Sabemos que:
  • Se , a solução se aproxima de 3 quando .
  • Se , a solução se aproxima de -2 quando .
  • Se , quando cresce.
Nosso objetivo é identificar qual das funções dadas na questão representa essa situação.

Passo 2

Vamos analisar as funções fornecidas:
a)
b)
c)
d)

Passo 3

Vamos identificar os pontos de equilíbrio da equação diferencial para cada função . Os pontos de equilíbrio ocorrem onde .
Observando as funções, todas elas têm o termo , que pode ser fatorado como:
Portanto, os pontos de equilíbrio são , e .

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento das soluções em torno desses pontos de equilíbrio para cada função .
Função a:
Como é sempre positivo (já que ), o sinal de depende apenas de .
  • Para : diminui, aproximando-se de 3.
  • Para : aumenta, aproximando-se de -2.
  • Para : tende ao infinito positivo.
Esse comportamento corresponde exatamente ao descrito na questão.

Passo 5

Vamos verificar rapidamente as outras opções para confirmar que elas não se encaixam:
  • Opção b: A presença de e termos lineares complicam o comportamento, não correspondendo claramente aos limites dados.
  • Opção c: A função introduz oscilaç��es que não estão presentes na descrição da questão.
  • Opção d: Semelhante à opção b, os termos complicados não alinham com o comportamento esperado.

Resposta

A alternativa que representa a função do PVI apresentado é a letra a:

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