Considere a solução do PVI
Sabemos que se
, então a solução se aproxima de 3, quando
. Se
, então a solução se aproxima de -2 , quando
. Se
, então
, quando
cresce. Faça um esboço das soluções da equação diferencial
, para cada uma das funções
dadas abaixo. Qual das alternativas representa a função
do PVI acima?
a
c
b
a
c
b
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) dado pela equação diferencial:
Sabemos que:
- Se
, a solução se aproxima de 3 quando . - Se
, a solução se aproxima de -2 quando . - Se
, quando cresce.
Nosso objetivo é identificar qual das funções
dadas na questão representa essa situação.
Passo 2
Vamos analisar as funções
fornecidas:
a)
b)
c)
d)
Passo 3
Vamos identificar os pontos de equilíbrio da equação diferencial
para cada função
. Os pontos de equilíbrio ocorrem onde
.
Observando as funções, todas elas têm o termo
, que pode ser fatorado como:
Portanto, os pontos de equilíbrio são
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento das soluções em torno desses pontos de equilíbrio para cada função
.
Função a:
Como
é sempre positivo (já que
), o sinal de
depende apenas de
.
- Para
: → → diminui, aproximando-se de 3. - Para
: → → aumenta, aproximando-se de -2. - Para
: → → tende ao infinito positivo.
Esse comportamento corresponde exatamente ao descrito na questão.
Passo 5
Vamos verificar rapidamente as outras opções para confirmar que elas não se encaixam:
- Opção b: A presença de
e termos lineares complicam o comportamento, não correspondendo claramente aos limites dados. - Opção c: A função
introduz oscilaç��es que não estão presentes na descrição da questão. - Opção d: Semelhante à opção b, os termos complicados não alinham com o comportamento esperado.
Resposta
A alternativa que representa a função
do PVI apresentado é a letra a: