Beleza! A gente vai resolver a integral . Isso tá no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente integrando frações racionais. Vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador e tentar fatorar. Uma boa estratégia é verificar se é uma raiz desse polinômio:
Como deu zero, é um fator. Então, podemos fatorar o denominador:
Passo 3
Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
Vamos usar frações parciais para dividir essa fração em partes mais simples que sejam mais fáceis de integrar.
Passo 4
Assumimos que a fração pode ser escrita assim:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador , temos:
Passo 5
Expandi os termos do lado direito:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes, temos o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, 2A = 2 Rightarrow A = 1 .
Substituindo na segunda equação: 1 + B = 1 Rightarrow B = 0 .
E na primeira: .
Somando as equações e , temos:
Então, e substituindo em :
Passo 7
Agora, substituímos os valores encontrados de x^2 + x(x - 1)(x^2 + 1) = 1x - 1 + 0x + 1x^2 + 1 = 1x - 1 + 1x^2 + 1 , integral 1x - 1 , dx + integral 1x^2 + 1 , dx e na decomposição das frações:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar cada parte separadamente:
Resposta
Portanto, a integral é:
integral x^2+xx^3-x^2+x-1 , dx = ln|x - 1| + arctan(x) + C