Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral . Isso tá no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente integrando frações racionais. Vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador e tentar fatorar. Uma boa estratégia é verificar se é uma raiz desse polinômio:
Como deu zero, é um fator. Então, podemos fatorar o denominador:

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
Vamos usar frações parciais para dividir essa fração em partes mais simples que sejam mais fáceis de integrar.

Passo 4

Assumimos que a fração pode ser escrita assim:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador , temos:

Passo 5

Expandi os termos do lado direito:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes, temos o sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação, .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. E na primeira: .
Somando as equações e , temos:
Então, e substituindo em :

Passo 7

Agora, substituímos os valores encontrados de , e na decomposição das frações:
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar cada parte separadamente:

Resposta

Portanto, a integral é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI):
Resolva a equação diferencial dada e encontre a função que satisfaça a condição inicial fornecida.