integral x^2+xx^3-x^2+x-1 d x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral . Isso tá no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente integrando frações racionais. Vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador 1^3 - 1^2 + 1 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0 e tentar fatorar. Uma boa estratégia é verificar se x^3 - x^2 + x - 1 = (x - 1)(x^2 + 1) é uma raiz desse polinômio:
Como deu zero, é um fator. Então, podemos fatorar o denominador:

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
integral x^2 + x(x - 1)(x^2 + 1) , dx
Vamos usar frações parciais para dividir essa fração em partes mais simples que sejam mais fáceis de integrar.

Passo 4

Assumimos que a fração pode ser escrita assim:
x^2 + x(x - 1)(x^2 + 1) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + 1
Multiplicando ambos os lados pelo denominador x^2 + x = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x - 1) , temos:

Passo 5

Expandi os termos do lado direito:
x^2 + x = A x^2 + A + Bx^2 - Bx + Cx - C
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
x^2 + x = (A + B)x^2 + (-B + C)x + (A - C)
Igualando os coeficientes, temos o sistema de equações:
A + B = 1 -B + C = 1 A - C = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação, 2A = 2 Rightarrow A = 1 .
  2. Substituindo na segunda equação: 1 + B = 1 Rightarrow B = 0 .
  3. E na primeira: .
Somando as equações e , temos:
Então, e substituindo em :

Passo 7

Agora, substituímos os valores encontrados de x^2 + x(x - 1)(x^2 + 1) = 1x - 1 + 0x + 1x^2 + 1 = 1x - 1 + 1x^2 + 1 , integral 1x - 1 , dx + integral 1x^2 + 1 , dx e na decomposição das frações:
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar cada parte separadamente:

Resposta

Portanto, a integral é:
integral x^2+xx^3-x^2+x-1 , dx = ln|x - 1| + arctan(x) + C
onde é a constante de integração.

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