Passo 1

Beleza, temos o seguinte integral para resolver:
Vamos trabalhar com o conteúdo de integração por substituição e funções racionais com raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz e os termos racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte da raiz, . Uma boa estratégia aqui é usar uma substituição trigonométrica ou algébrica. Mas, para facilitar, vamos tentar uma substituição direta. Vamos deixar . Isso simplifica a raiz para .

Passo 3

Com , vamos derivar ambos os lados em relação a para encontrar :
Agora, substituímos e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Agora, precisamos expressar em termos de . Da substituição , temos:
Portanto,

Passo 5

Substituindo na integral, ficamos com:
Para simplificar, podemos combinar os termos no denominador:
Mas isso pode complicar mais as coisas. Então, vamos tentar uma nova substituição para simplificar ainda mais.

Passo 6

Vamos tentar outra substituição: . Então, e .
Substituindo na integral:
Agora a integral ficou mais simples de manejar.

Passo 7

Vamos resolver:
Usando integrais padrão, sabemos que:
Aplicando isso com e , podemos integrar.

Passo 8

Após resolver a integral, substituímos de volta as substituições que fizemos:
Simplificando tudo, chegamos à expressão final da integral.

Resposta

A integral resolvida é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI):
Resolva a equação diferencial dada e encontre a função que satisfaça a condição inicial fornecida.