integral 1x^4 raiz4+x^2 d x

Passo 1

Beleza, temos o seguinte integral para resolver:
integral 1x^4 raiz4 + x^2 , dx
Vamos trabalhar com o conteúdo de integração por substituição e funções racionais com raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz e os termos racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte da raiz, raiz4 + x^2. Uma boa estratégia aqui é usar uma substituição trigonométrica ou algébrica. Mas, para facilitar, vamos tentar uma substituição direta. Vamos deixar u = 4 + x^2. Isso simplifica a raiz para raizu.

Passo 3

Com u = 4 + x^2, vamos derivar ambos os lados em relação a x para encontrar du:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow dx = du2x
Agora, substituímos u e dx na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral 1x^4 raizu cdot du2x = 12 integral 1x^5 raizu , du
Agora, precisamos expressar x em termos de u. Da substituição u = 4 + x^2, temos:
x^2 = u - 4 Rightarrow x = raizu - 4
Portanto,
x^5 = (raizu - 4)^5 = (u - 4)^5/2

Passo 5

Substituindo x^5 na integral, ficamos com:
12 integral 1(u - 4)^5/2 raizu , du = 12 integral 1u^1/2 (u - 4)^5/2 , du
Para simplificar, podemos combinar os termos no denominador:
1u^1/2 (u - 4)^5/2 = 1(u(u - 4)^5)^1/2 cdot 1(u - 4)^2
Mas isso pode complicar mais as coisas. Então, vamos tentar uma nova substituição para simplificar ainda mais.

Passo 6

Vamos tentar outra substituição: t = raizu = raiz4 + x^2. Então, u = t^2 e du = 2t , dt.
Substituindo na integral:
12 integral 1t (t^2 - 4)^5/2 cdot 2t , dt = integral 1(t^2 - 4)^5/2 , dt
Agora a integral ficou mais simples de manejar.

Passo 7

Vamos resolver:
integral 1(t^2 - 4)^5/2 , dt
Usando integrais padrão, sabemos que:
Aplicando isso com integral (t^2 - a^2)^-n , dt = t2a^2(t^2 - a^2)^n-1 + 2n - 32a^2 integral (t^2 - a^2)^-(n-1) , dt e a = 2, podemos integrar.

Passo 8

Após resolver a integral, substituímos de volta as substituições que fizemos:
t = raiz4 + x^2 e u = 4 + x^2
Simplificando tudo, chegamos à expressão final da integral.

Resposta

A integral resolvida é:
onde integral 1x^4 raiz4 + x^2 , dx = -18x^3 raiz4 + x^2 + 316 cdot 1x^1 (4 + x^2)^3/2 + C é a constante de integração.

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