Passo 1
Beleza, temos o seguinte integral para resolver:
Vamos trabalhar com o conteúdo de integração por substituição e funções racionais com raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz e os termos racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte da raiz,
. Uma boa estratégia aqui é usar uma substituição trigonométrica ou algébrica. Mas, para facilitar, vamos tentar uma substituição direta. Vamos deixar
. Isso simplifica a raiz para
.
Passo 3
Com
, vamos derivar ambos os lados em relação a
para encontrar
:
Agora, substituímos
e
na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Da substituição
, temos:
Portanto,
Passo 5
Substituindo
na integral, ficamos com:
Para simplificar, podemos combinar os termos no denominador:
Mas isso pode complicar mais as coisas. Então, vamos tentar uma nova substituição para simplificar ainda mais.
Passo 6
Vamos tentar outra substituição:
. Então,
e
.
Substituindo na integral:
Agora a integral ficou mais simples de manejar.
Passo 7
Vamos resolver:
Usando integrais padrão, sabemos que:
Aplicando isso com
e
, podemos integrar.
Passo 8
Após resolver a integral, substituímos de volta as substituições que fizemos:
Simplificando tudo, chegamos à expressão final da integral.
Resposta
A integral resolvida é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI):
Resolva a equação diferencial dada e encontre a função
que satisfaça a condição inicial fornecida.