Considere o seguinte problema de valores de contorno:
y'' + 1 pi^2 y = 0, y(0) = 0, y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valores de contorno juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial e duas condições para a função . A matéria aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar usar a teoria das soluções gerais de EDOs e aplicar as condições de contorno para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a equação diferencial dada:
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma . Ao substituir na equação, obtemos a equação característica:
Resolvendo para :
Isso significa que as raízes são imaginárias puras, então a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 3

Agora, aplicamos a primeira condição de contorno: .
Então,
Isso simplifica nossa solução para:

Passo 4

Aplicamos a segunda condição de contorno: .
Sabemos que , então:
Isso significa que a equação é satisfeita para qualquer valor de . Portanto, pode ser qualquer constante real.

Resposta

A solução geral do problema de valores de contorno é:
onde é uma constante real qualquer.

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