Considere o seguinte problema de valores de contorno:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valores de contorno juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial e duas condições para a função
. A matéria aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar usar a teoria das soluções gerais de EDOs e aplicar as condições de contorno para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a equação diferencial dada:
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma
. Ao substituir na equação, obtemos a equação característica:
Resolvendo para
:
Isso significa que as raízes são imaginárias puras, então a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 3
Agora, aplicamos a primeira condição de contorno:
.
Então,
Isso simplifica nossa solução para:
Passo 4
Aplicamos a segunda condição de contorno:
.
Sabemos que
, então:
Isso significa que a equação é satisfeita para qualquer valor de
. Portanto,
pode ser qualquer constante real.
Resposta
A solução geral do problema de valores de contorno é:
onde
é uma constante real qualquer.