Universidade Federal Rural de Pernambuco <br> Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Cálculo Diferencial e Integral IV <br> Professor: Serginei Liberato <br> Período 2024.1 <br> Lista Greve - Parte 1

Considere a EDO com tais que e . Mostre que:
é a solução geral da EDO.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma:
Com os coeficientes sendo números reais, onde:
A tarefa é mostrar que a solução geral dessa EDO é:
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, especialmente quando a equação característica tem raízes reais e repetidas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à EDO. A equação característica para uma EDO da forma:
é dada por:
Isso acontece porque substituímos na EDO e obtemos essa equação para .

Passo 3

Sabemos que , o que significa que a equação característica tem uma raiz real dupla. Vamos resolver para :
Como , simplificamos:

Passo 4

Com uma raiz dupla , a solução geral para a EDO de segunda ordem é:
Isso porque, quando temos raízes iguais na equação característica, a segunda solução é multiplicada por para garantir que seja linearmente independente da primeira.

Passo 5

Substituindo na expressão da solução geral, temos:
Essa é exatamente a forma que a questão quer que a gente mostre.

Resposta

A solução geral da EDO é:

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Mostre que para todo , ou seja, e são LI. Este resultado mostra que se é solução da EDO e tivermos então é solução geral da EDO.
Considere o seguinte problema de valores de contorno:

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As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado?
em qualquer intervalo
Dê o termo de ordem das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem .