Universidade Federal Rural de Pernambuco <br> Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Cálculo Diferencial e Integral IV <br> Professor: Serginei Liberato <br> Período 2024.1 <br> Lista Greve - Parte 1
Considere a EDO
com
tais que
e
. Mostre que:
é a solução geral da EDO.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma:
Com os coeficientes
sendo números reais, onde:
A tarefa é mostrar que a solução geral dessa EDO é:
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, especialmente quando a equação característica tem raízes reais e repetidas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à EDO. A equação característica para uma EDO da forma:
é dada por:
Isso acontece porque substituímos
na EDO e obtemos essa equação para
.
Passo 3
Sabemos que
, o que significa que a equação característica tem uma raiz real dupla. Vamos resolver para
:
Como
, simplificamos:
Passo 4
Com uma raiz dupla
, a solução geral para a EDO de segunda ordem é:
Isso porque, quando temos raízes iguais na equação característica, a segunda solução é multiplicada por
para garantir que seja linearmente independente da primeira.
Passo 5
Substituindo
na expressão da solução geral, temos:
Essa é exatamente a forma que a questão quer que a gente mostre.
Resposta
A solução geral da EDO é:
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Mostre que
para todo
, ou seja,
e
são LI. Este resultado mostra que se
é solução da EDO
e tivermos
então
é solução geral da EDO.
Considere o seguinte problema de valores de contorno:
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As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado?
em qualquer intervalo
Dê o termo de ordem
das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem
.